Задачи № 2 (Задачи к лекциям по метрологии (группа ЗС-2-04))
Описание файла
Файл "Задачи № 2" внутри архива находится в папке "Задачи к лекциям по метрологии (группа ЗС-2-04)". Документ из архива "Задачи к лекциям по метрологии (группа ЗС-2-04)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "метрология, стандартизация и сертификация (мсис)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "метрология" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Задачи № 2"
Текст из документа "Задачи № 2"
Задача
Найти одномерную и двумерную плотности вероятности случайного процесса
гд6е - постоянная величина, a, b – независимые случайные нормально распределенные величины с нулевым средним и дисперсией
Ответ
Случайная величина при любом фиксированном t представляет собой линейную комбинацию нормально распределенных случайных величин и в силу этого является также нормально распределенной. Следовательно, для определения плотности вероятности надо найти среднее значение и функцию корреляции
При выводе этого выражения было принято во внимание, что в силу независимости случайных величин a и b выполняется условие
Откуда учитывая, что для плотностей вероятности получим выражения
Задача
Найти характеристическую функцию для случайного стационарного процесса с плотностью вероятности
Ответ
Задача
На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс с математическим ожиданием и корреляционной функцией .
Определите математическое ожидание и дисперсию на выходе системы
Ответ
Задача
Случайная величина х распределена равномерно в интервале найти закон распределения случайной величины .
Ответ
Функция в интервале монотонна поэтому плотность вероятности может быть найдена по формуле
Задача
Случайная величина х распределена равномерно в интервале найти закон распределения случайной величины .
Ответ
Функция в интервале немонотонна, поэтому плотность вероятности может быть найдена по формуле
Задача
При измерениях рабочего эталона массы (1 кг) получена следующая группа результатов наблюдений, г:
х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
999,998738 | 999,998699 | 999,998700 | 999,998743 | 999,998724 |
х6 | х7 | х8 | х9 | х10 |
999,998737 | 999,998715 | 999,998738 | 999,998703 | 999,998713 |
Обработкой результатов измерений, пользуясь правилами вычислений статистических характеристик при малом числе наблюдений, определите значение массы рабочего эталона и оцените результаты измерений.
Ответ Обработка результатов измерений заключается в вычислении ряда вспомогательных величин, приведенных в табл. 3.
ТАБЛИЦА 3
хi, г | хi0 106 | |||
99998738 | 738 | + 17 | 289 | 83500 |
998699 | 699 | -22 | 484 | 234300 |
998700 | 700 | -21 | 441 | 198500 |
998743 | 743 | +22 | 484 | 234300 |
998724 | 724 | +3 | 9 | 00 |
998737 | 737 | +16 | 256 | 65500 |
998715 | 715 | -6 | 36 | 1300 |
998738 | 738 | +17 | 289 | 83500 |
998703 | 703 | -18 | 324 | 105000 |
998713 | 713 | -8 | 64 | 4100 |
Сумма | 7210 | 0 | 2676 | 1006000 |
Примечание. В графе 2 табл. 3 принято хi0 = Xi - 999,99800 |
Массу эталона принимают равной среднему арифметическому значению, определяемому по формуле
где п - число наблюдений.
В нашем случае х=999,99800 + хiо = 999,998721 г.
Oценку среднего квадратического отклонения S(CKO) вычисляют по формуле
Подставив в нее данные из графы 4 табл. 3, получим
Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения определяют по формуле
Подставив числовые значения, получим
Оценку СКО оценки СКО вычисляют по формуле
Предварительно вычисляют оценку четвертого момента и квадрат оценки второго момента распределения
Задача
Произведено измерение одной и той же длины L тремя различными способами
различной точности: микрометром с погрешностью 0,01 мм, штангенциркулем с нониусом до 1/50 мм, штангенциркулем с нониусом до 1/10 мм и получены следующие
результаты: 15,69 мм - микрометром; 15,66 мм - штангенциркулем до 1/50 мм;
15,70 мм - штангенциркулем до 1/10 мм.
Пользуясь понятием среднего взвешенного, запишите окончательный результат
измерений.
Ответ. Критерием для установления весов в данном случае будет погрешность при-
меняемых приборов. Самому малоточному прибору - штангенциркулю (1/10),
имеющему погрешность 0,1 мм, приписываем вес, равный единице. Второму измерению (1/50) придаем вес, равный пяти, как имеющему погрешность в 5 раз меньшую,
а первому результату, полученному с использованием вдвое более точного прибора,
приписываем вес, равный 10. Для получения достоверного окончательного результата необходимо умножить каждый результат измерения на его вес, взять сумму
полученных произведений и разделить на сумму весов:
т. е. L = 15,68мм.
Задача
Проведены три группы измерений сопротивления одной и той же образцовой
катушки и получены следующие результаты, Ом: = 100,145 ± 0,005; =100,115 ± 0,20; = 100,165 ± 0,010.
Путем дальнейшей обработки результатов найдите погрешность среднего взвешенного.
Ответ. Результаты измерений для каждой группы записаны в виде средних значений
и ± вероятных погрешностей результатов измерений в каждой из этих групп. В этом
случае отношения весов обратно пропорциональны отношению квадратов вероятных
погрешностей - средних квадратических отклонений (S0), т. е.:
р1 : р2 : р3 = = 40 000 : 2500 : 10 000 = 16 : 1 : 4.
В соответствии с полученным отношением, принимаем р1 = 16; р2 = 1; р3 =4.
Среднее взвешенное
Для определения вероятной погрешности среднего взвешенного пользуются
формулой
где pi - вес каждого результата измерения ; I - разность xi - ( -среднее взвешенное) ; п - число результатов измерений.
Для нашего случая: vi=x1 - = 100,115 - 100,147 = -0,002; v2 = х2 - =
= 100,115- 100,147 = 0,032; v3 = х3 - =- 100,165 - 100,147=0,018; п = 3.
Тогда
Ом.
Получаем возможность записать окончательный результат:
Погрешность среднего взвешенного меньше, чем погрешность любого из результатов.
Задача
При поверке дистанционного парогазового термометра класса точности 2,5 с
пределом измерений 100° С были получены следующие показания образцовых ртутных термометров в оцифрованных точках поверяемого:
Поверяемые точки, 0 С | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
При повышении t,0 С | 0,1 | 21 | 40 | 59 | 76 | 98 |
При понижении t, 0 С | 0 | 22 | 41 | 60 | 77 | 98 |
Оцените годность прибора.
Ответ. Прибор класса точности 2,5 на 100°С должен иметь абсолютную допускаемую
погрешность 2,5 °С (или 2,5 деления шкалы в 100 отметок). В точке 80°С прибор
имеет максимальную погрешность 4°С и поэтому должен быть забракован.
Задача