LEC-19 (Материалы к лекциям)
Описание файла
Файл "LEC-19" внутри архива находится в следующих папках: Материалы к лекциям, Lecturessemestr7. Документ из архива "Материалы к лекциям", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "методы решения задач механики сплошных сред" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "методы решения задач механики сплошных сред" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "LEC-19"
Текст из документа "LEC-19"
12
Столярчук. “Моделирование систем”. Конспект лекций. Лекция №19Лекция 19.
8. МКЭ и САПР
В настоящее время метод конечных элементов превратился в инструмент решения уравнений в частных производных, встречающихся в механике, теплотехнике, электродинамике, являясь универсальным средством предсказания физики поведения исследуемых объектов. Параллельное использование методов САПР позволило благодаря интеграции вычислительных алгоритмов и их связи с современными интерактивными графическими методами освободить инженера от всех утомительных операций, связанных с программированием, ручным вводом данных и преобразованием выходных сигналов в интересующие результаты. Именно в такой интеграции могут максимально проявиться возможности метода конечных элементов, позволяя непосредственно перейти от модели к проектированию.
Метод конечных элементов, по крайней мере, его основы, известен уже более полувека, но настоящий взлет он получил лишь с развитием современных средств информатики. Интегральные представления известны достаточно давно благодаря работам Галёркина, Ритца, Куранта и Гильберта (здесь отмечены только эти работы, как внесшие наиболее существенный вклад). Однако применение интегральных представлений расширялось по мере того, как разрабатывались методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей. Действительно, громадная работа по решению линейной системы с несколькими десятками тысяч уравнений и таким же количеством неизвестных отталкивала большинство инженеров, и такими вычислениями занимались лишь немногие специалисты, которые, впрочем, разрабатывали всевозможные ухищренные методы, применявшиеся в течение ряда лет, некоторые из которых используются еще и сегодня (Сутвел, Якоби, Гаусс).
В настоящее время стало обычным решение нелинейных алгебраических задач, содержащих несколько десятков тысяч уравнений. Кроме того, соответствующие численные методы и составление вычислительных программ становятся в наши дни составной частью преподаваемых курсов в большинстве инженерных школ. Специалисты-механики, столкнувшись со сложными задачами расчета структур, первыми использовали информационную технику для анализа моделей механических структур (этот факт относится к 1956 году). Затем (1960 г.) математики получили строгие формулировки для метода конечных элементов, после чего он становится общим средством изучения задач в частных производных, понемногу вытесняя метод конечных разностей, который рассматривался в период своего апогея как универсальное средство решения задач такого типа.
Начиная с 1970 г. этот метод становится все более популярным среди инженеров всех специальностей благодаря работам Зинкевича, Галлагера, Одена, Лиона, Равьяра, Сильвестера, Чари, Тузо. Этому способствовало создание специализируемых в отдельной прикладной области коммерческих пакетов программ, таких как TITUS (теплотехника), FLUX, MAGNET 11 и PE2D (электромагнетизм) и т.п. Но наибольшее число пакетов прикладных программ конечно-элементного анализа разработано для решения широкого класса задач. К ним относятся системы ASKA, NASTRAN, AnSys и DesignSpace, Cosmos, DesignWorks и т.д.
В настоящее время метод конечных элементов рассматривается как вычислительное средство, позволяющее с помощью системы автоматизированного проектирования разрабатывать устройства и структуры на основе полученных теоретических моделей их функционирования. С этой точки зрения метод конечных элементов неразрывно связан со средствами САПР, поскольку помимо расчета он позволяет описать изучаемый объект в соответствии с логической схемой, по которой метод конечных элементов привлекается на конечном этапе разработки и облегчает синтез результатов в виде схем, графиков или значений функций изучаемого объекта.
С чисто описательной точки зрения три этапа (ввод данных, расчет, вывод результатов) использования метода конечных элементов не зависят друг от друга и могут использовать различную технику вычислений и средства информатики. Однако на практике эти три фазы должны быть тесно переплетены, поскольку метод конечных элементов должен быть не просто средством для получения отдельного решения, а связующим звеном всей совокупности вычислений, позволяющих инженеру после нескольких часов работы закончить расчет устройства.
8.1 Общая архитектура САПР, базирующихся на методе конечных элементов
Ранее рассмотренные алгоритмы, разумеется, формируют основу программного обеспечения САПР, однако одних этих алгоритмов явно недостаточно. В частности, для использования метода необходимы алгоритмы подготовки данных и использования результатов. Далее будут определены функции, связанные с ядром метода конечных элементов, уточнена их роль и описано их взаимодействие при формировании САПР, базирующейся на методе конечных элементов.
Общая структура
П
рактически расчет характеристик некоторого устройства в процессе проектирования проходит стадию представления задачи уравнениями в частных производных и включает три этапа:
• описание геометрии, физических характеристик, генерацию сети конечных элементов;
• расчет с помощью метода конечных элементов;
• визуализацию и интерпретацию результатов моделирования.
Эти три этапа хорошо разделены и в действительности соответствуют на уровне программного обеспечения трем функциям, выполняемым отдельными модулями:
• модулем ввода данных (препроцессором);
• модулем вычислений (процессором);
• модулем вывода результатов (постпроцессором) .
Функции модуля ввода
Модуль ввода предназначен для ввода и подготовки всей информации, необходимой для решения задачи методом конечных элементов. Следует сообщить данные о дискретизации области и представить ее физические характеристики. Модуль ввода должен также осуществлять следующие три функции:
• описание геометрии объекта;
• генерацию сети конечных элементов;
• указание областей и границ.
Генерация сети конечных элементов в области заключается в формировании совокупности узлов и совокупности конечных элементов, обеспечивающих приемлемую дискретизацию области. Такая дискретизация должна соответствовать границам области и внутренним границам между различными ее участками. Кроме того, конечные элементы не должны иметь форму, слишком отличающуюся от симметричных форм стандартных элементов (равносторонних треугольников или тетраэдров, квадратов или кубов).
Узлы определяются их координатами, тогда как элементы характеризуются их типом и перечнем их узлов. Некоторые формулировки задач требуют использования интегралов на границах. В этом случае дополнительно к конечным элементам области (объемным в трехмерных задачах, линейным в двумерных) требуется создать конечные элементы границ (поверхностные в трехмерных и линейные в двумерных задачах, дискретизирующие рассматриваемые границы).
Операция указания областей и границ позволяет уточнить физическое поведение:
• описание физических характеристик материалов (например, проводимость, теплопроводность и т. д.);
• описание источников (например, источники тепла);
• описание граничных условий;
• описание начальных условий для время переменных задач.
Обычно эта информация вводится последовательно участок за участком, граница за границей. Связи между участками, конечными элементами области и узлами позволяют отразить эту информацию в виде дискретизации области.
Описание геометрии иногда производится в неявной форме при создании сети КЭ. Однако в настоящее время стремятся разделить эти операции. Вначале составляется описание геометрии, а затем создается сеть КЭ, использующая заданную геометрию. Крайним случаем является использование двух специализированных программ: жесткого моделирования для геометрической части, и составления сети КЭ для дискретизации.
Функции модуля вычислений
М
одуль вычислений решает одиночное уравнение или систему линейных или нелинейных уравнений.
Этот модуль получает на входе описание сети, физические характеристики и граничные условия. На выходе он выдает значения искомых величин в каждом узле сети.
Для решения систем уравнений используются два семейства методов:
методы точечные или блочные, действующие путем релаксаций, и глобальные матричные методы. Последние методы, используемые значительно чаще, имеют несколько этапов:
• построение подматриц и собственных подвекторов на каждом конечном элементе;
• объединение этих подматриц и подвекторов для формирования матрицы и правой части;
• учет граничных условий;
• решение линейной системы.
Р
ешение линейных систем осуществляется несколькими возможными способами: прямыми методами (Гаусса, Холецкого); полупрямыми методами;
• итерационными блочными методами (Гаусса-Зейделя).
Для систем нелинейных уравнений эти операции повторяются в соответствии с принятой итерационной схемой (Гаусса-Зейделя, Ньютона-Канторовича, Ньютона - Рафсона).
Для времяпеременных задач такое рассмотрение должно быть повторено на каждом временном шаге (явные и неявные методы конечных разностей Крэнка-Николсона, прогноза-коррекции).
Функции модуля вывода
Модуль ввода позволяет описать задачу, которая затем решается модулем вычислений. Однако полученное решение не может непосредственно использоваться по следующим причинам:
• значения переменных в узлах конечноэлементной сети не всегда имеют четкий физический смысл (например, вектор магнитного потенциала в задачах электромагнетизма);
• масса необработанной численной информации, получаемой при вычислении (несколько тысяч узловых величин), слишком велика для восприятия пользователем.
Модуль вывода играет двойную роль:
• извлекает значащую информацию. Эта информация может быть связана с локальными величинами (например, магнитной индукцией, удельными потерями, механическими напряжениями и т.д.) или глобальными величинами (тепловым потоком, электромагнитными силами и т. д.);
• представляет численную информацию в графической форме для облегчения ее восприятия и интерпретации (в виде карты полей, изотерм, постоянных механических напряжений, кривых изменения температуры или магнитного поля вдоль некоторой линии и т. д.).
8.2 Структура программного обеспечения для метода конечных элементов
Программа САПР, базирующаяся на методе конечных элементов, должна включать в той или иной степени разнообразные функции, которые только что были перечислены и объединены в три модуля. В минимальной конфигурации входной и выходной модули могут отсутствовать.
В программном обеспечении систем автоматизированного проектирования функции ввода и вывода особенно развиты, так как они сокращают время получения данных и оценки результатов в ходе моделирования.
Вычислительный модуль в основном использует элементы основной конфигурации технических средств: процессор, оперативную память, внешнюю память большой емкости.
Разнородность используемых ресурсов для препроцессора, процессора и постпроцессора вынуждает разработчиков иногда организовывать программное обеспечение в виде трех, отдельных программ, реализуемых в ряде случаев на компьютерах различной производительности (РС для взаимодействия и графики, суперЭВМ-для векторных вычислений). Тогда поток данных, передаваемых из одной программы в другую (соответственно от одной ЭВМ к другой), осуществляется с помощью файлов.
Чаще всего встречается следующая организация:
• единая (управляющая) программа для всех функций;
• одна программа для ввода и вывода, другая программа для расчетов;
• отдельная программа на каждую функцию.
Использование единой программы, управляющей всеми функциями, позволяет осуществлять быстрый переход от одной процедуры к другой. Единая программа особенно эффективна в тех случаях, когда необходимо многочисленное повторение цикла ввод-расчет-вывод.
В следующем возможном варианте пользователь раздельно пользуется модулем ввода-вывода и модулем вычисления. Это позволяет ему производить расчеты с разделением времени или даже "on line", если в соответствии со схемой организации работ имеется очень мощная ЭВМ.
Последний вариант представляет собой цепочку «препроцессор-процессор-постпроцессор». При этом можно предусмотреть использование нескольких препроцессоров, представляющих пользователю различные возможности. Пользователь выбирает тот или иной препроцессор в зависимости от конкретных обстоятельств расчета. Например, если разработаны два способа построения сети (один полностью автоматический, а другой ручной, работающий поблочно), то сначала осуществляют автоматическое разбиение сети, затем, если результаты не удовлетворительны (слишком много элементов, не соблюдается симметрия и т. д.), то используют ручное поблочное разбиение сети. Все случаи входят в цепочку одной и той же программы решения.
8.3 Многодисциплинарные программы
Различные явления, происходящие в непрерывных средах, описываются одними и теми же уравнениями в частных производных.
Например, двумерное уравнение Пуассона моделирует следующие явления: