ma2-4savos2 (Лекции по рядам и интегралам Фурье)
Описание файла
Файл "ma2-4savos2" внутри архива находится в папке "Лекции по рядам и интегралам Фурье". Документ из архива "Лекции по рядам и интегралам Фурье", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ma2-4savos2"
Текст из документа "ma2-4savos2"
Методическое пособие
по курсу
"Математический анализ"
для студентов ф-та №4
Тема: Интеграл Фурье.
Автор: ст.преподаватель каф.805
Савостьянова Н.И.
Построение интеграла Фурье.
Будем рассматривать функции удовлетворяющие определённым условиям.
Опр.1. f(x) называют кусочно-гладкой на , если f(x) и f '(x) непрерывны для любого xÎR, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. односторонние пределы для f(x) и f '(x) существуют и конечны). Если xk – точка разрыва f(x), то выполнено равенство:
т.е. значение f(x) в точке разрыва равно полусумме её односторонних пределов.
Опр.2. f(x) называют абсолютно интегрируемой на , если .
Совокупность непериодических кусочно-гладких абсолютно интегрируемых на функций обозначим .
Для функции f(x)Î введём следующие функции: , , , sÎ . (1)
Можно показать, что так определённые a(s), b(s), c(s) непрерывны для любого sÎR, а значит и интегрируемы на любом конечном промежутке.
Заметим, что в формулах (1) функция f(x) записана как f(t), что не означает замены переменной, а подразумевает лишь переобозначение её другой буквой.
Аналогом отдельного слагаемого ряда Фурье является функция , которая интегрируема на любом конечном промежутке. Преобразуем эту функцию с использованием формул (1), а также формул Эйлера: , , откуда ; , или . Тогда = = внесём cos(xs) и sin(xs) под интеграл, т.к. относительно переменной интегрирования "t" – это постоянные величины = воспользуемся формулой Эйлера = (2)
Аналогом частичной суммы ряда Фурье является следующий интеграл:
т.к. для любого sÎ[o;N] имеем: -sÎ[-N;0].
Можно доказать, что для fÎ . Тогда из (3) следует . (4)
Полученное представление называют действительной формой интеграла Фурье, где функции a(s) и b(s) определяются по формулам (1).
При этом из (3') следует: , (5)
это называют комплексной формой интеграла Фурье, где c(s) определяется по формуле (1).
Заметим, что функцию c(s) называют спектральной характеристикой, а функцию Ф(s)=|c(s)| - спектром.
Преобразование Фурье.
Перепишем равенство (5), используя формулу (1).
Функция называется прямым преобразованием Фурье, а функция называется обратным преобразованием Фурье.
Из равенства (6) ясно, что применение к f(x) Î прямого, а затем обратного преобразования Фурье восстанавливает функцию f(x).
Задача. Найти спектральную характеристику функции ; и построить график спектра.
Решение. Спектральная характеристика = определенный интеграл от "0" равен нулю = т.к. при , т.к. a>0 по условию ; итак, .
Вычислим . Для построения графика Ф(s) учтем, что Ф(s)>0, s ; Ф(-s)=Ф(s) и Ф(s)0 при s.
Н айдем экстремумы Ф(s). . Ф'(s)=0 при s=0, Ф'(s).