183522 (Методы дискриминантного анализа)

2016-08-02СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Методы дискриминантного анализа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "экономико-математическое моделирование" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "экономико-математическое моделирование" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "183522"

Текст из документа "183522"

Содержание

Введение

  1. Дискриминантные функции и их геометрическая интерпретация

  2. Расчет коэффициентов дискриминантной функции

  3. Классификация при наличии двух обучающих выборок

  4. Классификация при наличии k обучающих выборок

  5. Взаимосвязь между дискриминантными переменными и дискриминантными функциями

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Дuскрuмuнантный анализ - это раздел математической статистики, содержанием которого является разработка методов решения задач различения (дискриминации) объектов наблюдения по определенным признакам. Например, разбиение совокупности предприятий на несколько однородных групп по значениям каких-либо показателей производственно-хозяйственной деятельности.

Методы дискриминантного анализа находят применение в различных областях: медицине, социологии, психологии, экономике и т.д. При наблюдении больших статистических совокупностей часто появляется необходимость разделить неоднородную совокупность на однородные группы (классы). Такое расчленение в дальнейшем при проведении статистического анализа дает лучшие результаты моделирования зависимостей между отдельными признаками.

Дискриминантный анализ оказывается очень удобным и при обработке результатов тестирования отдельных лиц. Например, при выборе кандидатов на определенную должность можно всех опрашиваемых претендентов разделить на две группы: «подходит» и «не подходит».

Можно привести еще один пример применения дискриминантного анализа в экономике. Для оценки финансового состояния своих клиентов при выдаче им кредита банк классифицирует их на надежных и не надежных по ряду признаков. Таким образом, в тех случаях, когда возникает необходимость отнесения того или иного объекта к одному из реально существующих или выделенных определенным способом классов, можно воспользоваться дискриминантным анализом.

Аппарат дискриминантного анализа разрабатывался многими учеными-специалистами, начиная с конца 50-х годов ХХ в. Дискриминантным анализом, как и другими методами многомерной статистики, занимались П.Ч. Махаланобис, Р. Фишер, Г.Хотеллинг и другие видные ученые.

Все процедуры дискриминантного анализа можно разбить на две группы и рассматривать их как совершенно самостоятельные методы. Первая группа процедур позволяет интерпретировать различия между существующими классами, вторая - проводить классификацию новых объектов в тех случаях, когда неизвестно заранее, к какому из существующих классов они принадлежат.

Пусть имеется множество единиц наблюдения - генеральная совокупность. Каждая единица наблюдения характеризуется несколькими признаками (переменными) - значение jпеременной у i-го объекта i =1,…N; j=1,…p.

Предположим, что все множество объектов разбито на несколько подмножеств (два и более). Из каждого подмножества взята выборка объемом , где k - номер подмножества (класса), k = 1, ... , q.

Признаки, которые используются для того, чтобы отличать один класс (подмножество) от другого, называются дискриминантными переменными. Каждая из этих переменных должна измеряться либо по интервальной шкале, либо по шкале отношений. Интервальная шкала позволяет количественно описать различия между свойствами объектов. Для задания шкалы устанавливаются произвольная точка отсчета и единица измерения. Примерами таких шкал являются календарное время, шкалы температур и т. п. В качестве оценки положения центра используются средняя величина, мода и медиана.

Шкала отношений - частный случай интервальной шкалы. Она позволяет соотнести количественные характеристики какого-либо свойства у разных объектов, например, стаж работы, заработная плата, величина налога.

Теоретически число дискриминантных переменных не ограничено, но на практике их выбор должен осуществляться на основании логического анализа исходной информации и одного из критериев, о котором речь пойдет немного ниже. Число объектов наблюдения должно превышать число дискриминантных переменных, как минимум, на два, т. е. р < N. Дискриминантные переменные должны быть линейно независимыми. Еще одним предположением при дискриминантном анализе является нормальность закона распределения многомерной величины, т.е. каждая из дискриминантных переменных внутри каждого из рассматриваемых классов должна быть подчинена нормальному закону распределения. В случае, когда реальная картина в выборочных совокупностях отличается от выдвинутых предпосылок, следует решать вопрос о целесообразности использования процедур дискриминантного анализа для классификации новых наблюдений, так как в этом случае затрудняются расчеты каждого критерия классификации.

1. Дискриминантные функции и их геометрическая интерпретация

Перед тем как приступить к рассмотрению алгоритма дискриминантного анализа, обратимся к его геометрической интерпретации. На рис. 1 изображены объекты, принадлежащие двум различным множествам М1 и М2.


Рис.1 Геометрическая интерпретация дискриминантной функции и дискриминантных переменных

Каждый объект характеризуется в данном случае двумя переменными и . Если рассматривать проекции объектов (точек) на каждую ось, то эти множества пересекаются, т.е. по каждой переменной отдельно некоторые объекты обоих множеств имеют сходные характеристики. Чтобы наилучшим образом разделить два рассматриваемых множества, нужно построить соответствующую линейную комбинацию переменных и . Для двумерного пространства эта задача сводится к определению новой системы координат. Причем новые оси L и С должны быть расположены таким образом, чтобы проекции объектов, принадлежащих разным множествам на ось L, были максимально разделены. Ось С перпендикулярна оси L и разделяет два «облака» точек наилучшим образом, Т.е. чтобы множества оказались по разные стороны от этой прямой. При этом вероятность ошибки классификации должна быть минимальной. Сформулированные условия должны быть учтены при определении коэффициентов и следующей функции:

F(x) = + (1)

Функция F(x) называется канонической дискриминантной функцией, а величины и - дискриминантными переменными.

Обозначим - среднее значение j-го признака у объектов i-го множества (класса). Тогда для множества М1 среднее значение функции (x) будет равно:

(x) = + ; (2)

Для множества М2 среднее значение функции равно:

(x) = + ; (3)

Геометрическая интерпретация этих функций - две параллельные прямые, проходящие через центры классов (множеств) (рис.2).


Рис. 2. Центры разделяемых множеств и константа дискриминации

Дискриминантная функция может быть как линейной, так и нелинейной. Выбор ее вида зависит от геометрического расположения разделяемых классов в пространстве дискриминантных переменных. Для упрощения выкладок в дальнейшем рассматривается линейная дискриминантная функция.

2. Расчет коэффициентов дискриминантной функции

Коэффициенты дискриминантной функции определяются таким образом, чтобы (x) и (x) как можно больше различались между собой, т.е. чтобы для двух множеств (классов) было максимальным выражение


(4)

Тогда можно записать следующее:

(5)

где k- номер группы; p – число переменных, характеризующих каждое наблюдение.

Обозначим дискриминантную функцию (x) как (k - номер группы, t - номер наблюдения в группе). Внутригрупповая вариация может быть измерена суммой квадратов отклонений:

(6)

По обеим группам это будет выглядеть следующим образом:

(7)

В матричной форме это выражение может быть записано так:

(8)

где А - вектор коэффициентов дискриминантной функции;

- транспонированная матрица отклонений наблюдаемых значений исходных переменных от их средних величин в первой группе

(9)

- аналогичная матрица для второй группы.

Объединенная ковариационная матрица определяется так:

(10)

Следовательно выражение (8) дает оценку внутригрупповой вариации и его можно записать в виде:

(11)

Межгрупповая вариация может быть измерена как

(12)

При нахождении коэффициентов дискриминантной функции следует исходить из того, что для рассматриваемых объектов внутригрупповая вариация должна быть минимальной, а межгрупповая вариация - максимальной. В этом случае мы достигнем наилучшего разделения двух групп, т.е. необходимо, чтобы величина F была максимальной:

(13)

В точке, где функция F достигает максимума, частные производные по будут равны нулю. Если вычислить частные производные

(14)

и приравнять их нулю, то после преобразований получим выражение:

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее