ТВиМС - Экзаменационные билеты, календарный план

ст. преподаватель Осокин А.В.

Календарный план

по теории вероятностей и математической статистике

2 курс — 4 факультет 2007/2008 учебный год

(группы: 04-212, 04-213, 04-219, 04-220)

(группы: 04-201, 04-202, 04-203, 04-204)

Лекции

Опыт. Классическая схема теории вероятностей. Элементарное событие. Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Условная вероятность и формула сложе­ния в классической схеме теории вероятностей.

Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Тео­рема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Геометрические вероятности. Задача Бюффона и задача о встре­че.

Алгебра событий и σ - алгебра событий. Аксиомы теории веро­ятностей. Понятие вероятности. Математическая модель опыта. Случайное событие.

Полная группа попарно несовместных событий — гипотезы. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли и полиномиальная схема.

Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Квантиль. Числовые характеристики случайных величин: мате­матическое ожидание, дисперсия, начальный и центральный мо­менты, среднее квадратическое отклонение. Дискретные случай­ные величины. Производящая функция неотрицательного цело­численного дискретного распределения.

Основные дискретные распределения: равновероятное, биноми­альное, бернуллиевское, пуассоновское, геометрическое. Часто­та наступления события. Устойчивость частот. Неравенство Чебышева и Гаусса-Маркова. Теорема Бернулли. Простейшие пре­дельные теоремы в схеме Бернулли: теорема Пуассона и теорема Муавра-Лапласа.

1. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и характеристическая функция непрерывного распределения. Ос­новные непрерывные распределения: равномерное, экспоненци­альное, показательное, нормальное, распределение Коши. Функ­ции случайных величин. Способы моделирования случайных ве­личин на компьютере.

2. Случайные векторы. Двумерные случайные векторы. Двумер­ные дискретные случайные векторы. Ковариация двух случай­ных величин. Независимые случайные величины. Коэффици­ент корреляции случайных величин и его свойства. Неравенство Коши-Буняковского. Коэффициент корреляции линейно зави­симых случайных величин. Математическое ожидание и дис­персия линейной комбинации случайных величин. Ковариацион­ная и корреляционная матрицы случайного вектора и их свой­ства. Простейшая формула полного математического ожидания. Общий план исследования двумерного распределения вероятно­стей. Наилучшая в среднем квадратическом оценка случайной величины по наблюдениям над другой случайной величиной — условное математическое ожидание. Формула полного матема­тического ожидания.

3. Двумерные непрерывные случайные векторы. Распределение суммы случайных величин. Распределение Лапласа. Попадание двумерной случайной величины в заданную на плоскости об­ласть.

1. Двумерное и трехмерное нормальное (гауссовское) распределе­ние. Канонический вид двумерного и трехмерного нормального (гауссовского) распределения. Теорема о нормальной корреля­ции.

2. Виды вероятностной сходимости. Закон больших чисел. Сходи­мость усредненной суммы случайных величин. Центральная пре­дельная теорема. Метод статистического моделирования — ме­тод Монте-Карло.

3. Понятие априорной и апостериорной выборки. Основные за­дачи математической статистики. Гистограмма. Эмпирическая

(выборочная) функция распределения. Выборочное математиче­ское ожидание и дисперсия. Основные распределения в матема­тической статистике, Распределение хи-квадрат. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера.

1. Точечное оценивание. Метод максимального правдоподобия и метод моментов. Свойства точечных оценок: несмещённость, состоятельность и эффективность.

2. Проверка статистических гипотез. Выбор критерия. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Интервальное оцени­вание. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Уровень значимости. Оценка объема выборки в методе стати­стических испытаний.

3. Метод наименьших квадратов. Метод наименьших модулей. По­строение линейной и квадратичной моделей. Выбор матрицы плана. Ортогональные полиномы Чебышева. Остаточная дис­персия. Доверительное оценивание коэффициентов в линейной модели.

Литература

1. Кибзун А.И., Наумов А.В. Теория вероятностей. Базовый курс с примерами и задачами. —М.: Физматлит, 2002, 2005.

2. Кочетков Е.С., Смерчинская СО. Теория вероятностей в зада­чах и упражнениях. —М.: Форум-Инфра-М, 2005, 2008.

3. Кибзун А.И., Панков А.Р., Сиротин А.Н. Учебное пособие по теории вероятностей. —М.: МАИ, 1993.

4. Кочетков Е.С., Осокин А.В. Случайные события. —М.: МАИ, 2000.

5. Кочетков Е.С., Осокин А.В. Случайные величины. —-М.: МАИ, 2001.

6. Кочетков Е.С., Осокин А.В., Смерчинская СО. Предельные теоремы. --М.: МАИ, 2001.

7. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979.

Практические занятия*

1. Комбинаторные задачи. Классическая схема теории вероятностей.

• (на занятии) [2]: 1.1, 1.3,1.5,1.10,1.17,1.20, 1.22,1.24, 1.29,1.33,1.35, 1.38,1.43;

• (домашнее задание) [2]: 1.9, 1.18, 1.19, 1.25, 1.27, 1.28, 1.30, 1.31, 1.32, 1.36, 1.37, 1.39, 1.40, 1.42.

2. Комбинаторные задачи. Классическая схема теории вероятностей.

• (на занятии) [2]: 1.53, 1.58, 1.70, 1.77. 1.84;

• (домашнее задание) [2]: 1.44, 1.49, 1.50, 1.51, 1.52,1.56,1.71, 1.72, 1.73, 1.74, 1.76, 1.81, 1.83, 1.92, 1.93, 1.94, 1.95, 1.96, 1.97, 1.98, 1.99.

3. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Тео­
рема умножения вероятностей. Совместные и несовместные со­бытия. Теорема сложения вероятностей.

• (на занятии) |2|: 3.1, 3.5, 3.17, 3.18, 3.24, 3.30,3.32, 3.34,3.40,3.48, 3.49;

• (домашнее задание) [2]: 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.11, 3.12, 3.15, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.25, 3.31, 3.33, 3.41, 3.42, 3.43, 3.50, 3.51, 3.52.

4. Совместное применение теорем сложения и умножения вероятностей.

• (на занятии) [2]: 3.53, 3.57, 3.59, 3.65, 3.69, 3.78, 3.87;

• (домашнее задание) [2]: 3.58, 3.60, 3.64, 3.68, 3.70, 3.79, 3.80, 3.81, 3.83, 3.84, 3.86, 3.95, 3.96, 3.99, 3.106, 3.107, 3.108.

5. Формула полной вероятности и формула Байеса.

• (на занятии) [2]:

• (домашнее задание) [2]: 4.3, 4.5, 4.6, 4.9,4.11,4.14, 4.17,4.21, 4.27, 4.28, 4.31, 4.32, 4.33, 4.34, 4.38.

6. Схема Бернулли. Полиномиальная схема.

• (на занятии) [2]:

*Номера задач даны по книге: Кочетков Е.С., Смерчинская СО. Теория вероятностей в задачах и упражнениях, —М.: Форум-Инфра-М, 2005 или 2008.

• (домашнее задание) [2]: 5.2, 5.4, 5.11, 5.15, 5.17, 5.21, 5.27, 5.32, 5.36,
5.38,5.39, 6.42, 5.43, 5.46, 5.48.

1. Контрольная работа № 1.

2. Дискретные случайные величины. Производящая функция.

• (на занятии) [2]:

• (домашнее задание) [2]: 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.11, 6.13, 6.14, 6.15, 6.18, 6.22, 6.24, 6.26, 6.30, 6.37, 6.38, 6.40, 6.48, 6.49, 6.53, 6.57, 6.60, 6.63, 6.91, 6.92, 6.107.

9. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

• (на занятии) [2]:

• (домашнее задание) [2]: 7.2, 7.6, 7.7, 7.9, 7.11, 7.12, 7.13, 7.14, 7.15, 7.16, 7.23, 7.24, 7.29, 7.30, 7.32, 7.42, 7.44, 7.46, 7.47, 7.49.

10. Непрерывные случайные величины. Функции случайных вели­
чин.

• (на занятии) [2]:

• (домашнее задание) [2]; 8.3, 8.4, 8.5, 8.11, 8.13, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18, 8.19, 8.20, 8.22, 8.23, 8.25, 8.28, 8.33, 8.34, 8.35, 8.38, 8.39.

11. Нормальная (гауссовская) случайная величина.

• (на занятии) [2]:

• (домашнее задание) [2]: 8.47, 8.49, 8.52, 8.54, 8.56, 8.57, 8.58, 8.59, 8.60, 8.61, 8.64, 8.66, 8.70, 8.71, 8.78, 8.79, 8.80, 8.100, 8.101, 8.103.

1. Контрольная работа № 2.

2. Общий план исследования дискретной двумерной случайной ве­личины. Ковариационная и корреляционная матрицы. Независимость и некоррелированность.

• (на занятии) [2]:

• (домашнее задание) [2]: 10.2, 10.3, 10.5, 10.7, 10.9, 10.17, 10.20, 10.26, 10.27, 10.29, 10.43, 10.44, 12.1, 12.2, 12.3.

14. Общий план исследования непрерывной двумерной случайной
величины.

• (на занятии) [2J:

• (домашнее задание) [2]: 11.3, 11.4, 11.7, 11.8, 11.11, 11.12, 11.14, 11.16, 11.19, 11.51, 11.52, 11.53, 11.63, 11.64, 11.65, 14.11, 14.13, 14.14, 14.16, 14.17,14.18, 14.20, 14.21, 14.23, 14.36.

15. Предельные теоремы. Виды вероятностной сходимости. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Неравенство Чебышева.

• (на занятии) [2|:

• (домашнее задание) [2]: 9.6, 9.9, 9.11, 9.32, 9.34, 9.45, 9.46, 9.47, 16.27, 16.29, 16.30, 16.41.

Лабораторные работы

1. Точечные оценки параметров. Метод моментов. Метод мак­симального правдоподобия. Несмещенность и состоятельность. Проверка статистических гипотез. Критерии: однородности, независимости, согласия. Ошибки первого и второго рода.

2. Доверительное оценивание параметров. Проверка параметриче­ских гипотез.

3. Метод наименьших квадратов. Построение линейной и квадра­тичной моделей. Метод наименьших модулей.

Курсовая работа

Этап 1. Вероятность попадания в двумерную область плоскости.

Этап 2. Проверка статистической гипотезы (однородности или независимости или о законе распределения).

Этап 3. МНК и проверка параметрической гипотезы о значении коэффициентов регрессии.

Экзаменационный билет №001

1. Вероятности попадания в мишень для трёх стрелков равны
и соответственно. В результате одновременного выстрела

всех стрелков в мишени образовалось две пробоины. Что более вероятно попал третий стрелок в мишень или нет, и какова вероятность попадания третьего стрелка в мишень?

1. Вычислите вероятность попадания в промежуток (—3; 1) слу­чайной величины

2. Из всех трёхзначных чисел (от 100 до 999) наугад выбрали одно число. Вычислите математическое ожидание числа различных цифр, встречающихся в записи этого числа.

3. Случайные величины и независимы и одинаково распреде­лены по закону R(0; 1). Найдите вероятность того, что корни квадратного уравнения вещественны.

4. Докажите, что к последовательности случайных величин

закон больших чисел не применим.

6. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения. Задача о распределении опечаток*.

*Книга в 500 страниц содержит 400 опечаток. Предположим, что каждая из них независимо от остальных опечаток может с одинаковыми вероятностями оказаться на любой странице книги, оцените вероятность того, что на 13-й странице будет не менее двух опечаток.

Экзаменационный билет № 002

1. Стрелок стреляет по мишени до тех пор, пока общее число
промахов не станет равным трём. Вероятность промаха при
одном выстреле составляет 0,2. Какова вероятность того, что:
а) стрелок израсходует семь патронов; б) стрелку хватит пяти
патронов?

1. Для случайной величины расположите в поряд­ке возрастания вероятности попадания в интервалы: (—2; 2), (-1; 3), (0; 4) и (-1,5; 2,5).

2. Сколько в среднем раз понадобится подбрасывать игральную кость до тех пор, пока хотя бы по одному разу не выпадет каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

4.Случайный вектор равномерно распределён в квадрате Найдите ковариационную матрицу этого вектора,

коэффициент корреляции его координат и условную плотность вероятности при условии

б. Докажите, что к последовательности случайных величин при­меним закон больших чисел, если при