ТВИМС-~4 (Курсовые по ТВиМС)
Описание файла
Файл "ТВИМС-~4" внутри архива находится в следующих папках: Курсовые по ТВиМС, Курсовая. Документ из архива "Курсовые по ТВиМС", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "теория вероятности и математическая статистика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ТВИМС-~4"
Текст из документа "ТВИМС-~4"
Московский Авиационный
Институт
Отчет по лабораторной работе №1
по курсу:
Теория вероятностей и
Математическая статистика.
на тему:
«Изучение центральной предельной теоремы»
Вариант: 3
Работу выполнил:
студент гр. 04-215
Работу проверил:
Доц. кафедры 804
Шин Г. З.
Краткие теоретические сведения:
Цель работы - экспериментальное изучение скорости сходимости закона распределения суммы независимых случайных величин к нормальному закону распределения и влияния на скорость сходимости вида закона распределения слагаемых.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ:
П
усть X1 , ..., Xm- независимые одинаково распределенные случайные величины с параметрами М[Хk] = a-D[Хk] Тогда согласно центральной предельной теореме [Л] нормиро-ванная и центрированная сумма
п
ри достаточно большом числе слагаемых m имеет закон распределения, практически совпадающий со стандартным нормальным законом распределения вне зависимости от конкретного вида закона распределения слагаемых [Xk]. так как для любого действительного x выполнено предельное соотношение
Скорость сходимости закона распределения суммы Sm к нормальному закону распределения при m зависит, однако, от конкретного вида распределения [Xk] .
Для практического решения о приемлемости гипотезы нормальности суммы Sm при заданном конкретном распределении слагаемых {Xk} и конечном m можно использовать следующий подход:
1) Смоделировать выборку {Smk}, k= 1, ..., n достаточно большого объема;
2) Проверить гипотезу о том, что выборка соответствует нормальному стандартному распределению N(0,1), по критерию согласия хи-квадрат Пирсона или критерию Колмогорова.
Центральная предельная теорема имеет огромное практическое значение, так как обосновывает то особое положение, которое занимает нормальный закон распределения в разнооб-разных прикладных задачах.
ЗАДАНИЕ:
1. Методом моделирования, увеличивая последовательно число слагаемых m в сумме Sm , определить число m*, при котором сумма m* равномерно распределенных на [0,1] слагаемых может считаться нормально распределенной.
2. Определить m*, когда слагаемые имеют показательное (экспоненциальное) распределение с параметром = 1.
3. Выяснить зависимость m* от объема n моделируемой выборки суммы Sm и закона распределения слагаемых.
-
1 этап -Для нормального распределения:
Число реализаций суммы n = 50;
Число суммируемых случайных величин = 1;
Минимальное значение xmin= -1.6520;
Максимальное значение xmax= 1.6654;
Оценка математического ожидания : 0.170;
Оценка дисперсии: 0.880;
Оценка среднего квадратического отклонения: 0.938;
Интервал | Частота | Гистограмма |
[-1.66;-1.24] | 0.100 | 0.238 |
[-1.24;-0.82] | 0.100 | 0.238 |
[-0.82;-0.40] | 0.140 | 0.333 |
[-0.40;0.02] | 0.220 | 0.524 |
[0.02;0.44] | 0.100 | 0.238 |
[0.44;0.86] | 0.100 | 0.238 |
[0.86;1.28] | 0.160 | 0.381 |
[1.28;1.70] | 0.100 | 0.238 |
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0256;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0632;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 28.426;
-
Гипотеза - равномерное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 5.040;
-
Гипотеза - экспоненциальное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0800;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 97.335;
При числе суммируемых случайных величин = 1 самая подходящая гипотеза - равномерное распределение.
Изменяем число суммируемых случайных величин с 1 на 3;
Минимальное значение xmin= -1.7150;
Максимальное значение xmax= 2.3588;
Оценка математического ожидания : 0.047;
Оценка дисперсии: 0.929;
Оценка среднего квадратического отклонения: 0.964;
Интервал | Частота | Гистограмма |
[ -1.69; -1.27] [ -1.27; -0.85] [ -0.85; -0.43] [ -0.43; -0.01] [ -0.01; 0.41] [ 0.41; 0.83] [ 0.83; 1.25] [ 1.25; 1.67] | 0.120 0.090 0.140 0.080 0.200 0.100 0.140 0.140 | 0.285 0.214 0.333 0.190 0.476 0.238 0.333 0.333 |
-
Г
ипотеза - нормальное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0314;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0019;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 17.086;
-
Гипотеза - равномерное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 29.680;
-
Гипотеза - экспоненциальное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0205;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 56.382;
При числе суммируемых случайных величин = 3 самая подходящая гипотеза - нормальное распределение.
Изменяем число реализаций суммы на n = 100;
Минимальное значение xmin= -1.7150;
Максимальное значение xmax= 2.3588;
Оценка математического ожидания : 0.047;
Оценка дисперсии: 0.929;
Оценка среднего квадратического отклонения: 0.964;
Интервал | Частота | Гистограмма |
[ -1.69; -1.27] [ -1.27; -0.85] [ -0.85; -0.43] [ -0.43; -0.01] [ -0.01; 0.41] [ 0.41; 0.83] [ 0.83; 1.25] [ 1.25; 1.67] | 0.120 0.090 0.140 0.080 0.200 0.100 0.140 0.140 | 0.285 0.214 0.333 0.190 0.476 0.238 0.333 0.333 |
-
Гипотеза - нормальное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0356;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0458;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 40.408;
-
Гипотеза - равномерное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 8.160;
-
Гипотеза - экспоненциальное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0682;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 151.354;
При числе суммируемых случайных величин = 1 самая подходящая гипотеза - равномерное распределение.
Изменяем число суммируемых случайных величин с 1 на 3;
Минимальное значение xmin= -2.1186;
Максимальное значение xmax= 2.3703;
Оценка математического ожидания : 0.205;
Оценка дисперсии: 1.044;
Оценка среднего квадратического отклонения: 1.022;
Интервал | Частота | Гистограмма |
[ -2.12; -1.56] [ -1.56; -1.00] [ -1.00; -0.44] [ -0.44; 0.13] [ 0.13; 0.69] [ 0.69; 1.25] [ 1.25; 1.81] [ 1.81; 2.37] | 0.040 0.100 0.130 0.200 0.170 0.180 0.150 0.030 | 0.071 0.178 0.232 0.356 0.303 0.321 0.267 0.053 |
-
Г
ипотеза - нормальное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0115;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0170;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 18.487;
-
Гипотеза - равномерное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 22.560;
-
Гипотеза - экспоненциальное распределение;
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0442;
Число степеней свободы равно 9;
Значение статистики критерия Пирсона g = 247.864;
При числе суммируемых случайных величин = 3 самая подходящая гипотеза - нормальное распределение.