ТВИМС-~2 (Курсовые по ТВиМС)
Описание файла
Файл "ТВИМС-~2" внутри архива находится в следующих папках: Курсовые по ТВиМС, Курсовая. Документ из архива "Курсовые по ТВиМС", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "теория вероятности и математическая статистика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ТВИМС-~2"
Текст из документа "ТВИМС-~2"
Московский Авиационный
Институт
Курсовая работа
по курсу:
Теория вероятностей и
Математическая статистика.
на тему:
«Проверка гипотезы статистического закона распределения случайной величины»
(II часть)
Работу выполнил:
студент гр. 04-216
Васильев А.А.
Работу проверил:
Доц. кафедры 804
Шин Г. З.
Краткие теоретические сведения:
Выборочная функция распределения и гистограмма.
Пусть получена выборка. Если ее расположить в порядке возрастания получим вариационный ряд х1, х0,…, хn.
Выберем и определим частоту попаданий наблюдений левее х: mx/n, где mx число элементов вариационного ряда левее х, n – число элементов вариационного ряда. По аналогии с функцией распределения в математической статистике эта величина является статистической функцией распределения.
При большом числе наблюдений m весь диапазон различных значений [x1, xn] делится на k промежутков. Подсчитывается число наблюдений в каждом из интервалов и далее рассматриваются значения х - группа значений в количестве mi , попавших в этот интервал. Тогда (частота попадания в i-ый интервал).
Строим статистический ряд распределения:
[x1, x2] | [x2, x3] | …. | [xk, xn] |
…. |
Отношение – называется гистограммой.
Гистограмма - статистический аналог плотности распределения.
Способы задания непрерывных случайных величин.
Случайная величина – эта величина, которая во время опыта может принимать любое значение из своих, какое неизвестно. Для задания СВ недостаточно указать ее спектр ( все ее возможные значения). Нужна вероятностная характеристика. Универсальная характеристика – это функция распредеделения.
Функция распредеделения F(x) от величины Х – это вероятность того, что СВ Х будет меньше x:
Числовые характеристики случайных величин:
-
математическое ожидание (МО) дискретной СВ - М[X] = xi*pi
-
МО непрерывной СВ - М[X] = x*f(x) dx
Начальные центральные моменты.
Начальный момент – МО СВ Хr , т.е. аr = М[Xr]
Центральный момент (mr) CB X – МО отклонение СВ от своего МО в степени r , т.е.
mr = М[(X-m х)r]
Дисперсия- второй центральный момент, средний квадрат отклонения СВ от ее среднего значения.
Свойства дисперсии
1. D[c] = М[(c-c)2] = 0
2. D[cX] = М[c2*(X- m х)2] = c2*М[(X- m х)2] = c2*D[X]
Нормальное распределение.
Построение оценок параметров распределения
Метод максимального правдоподобия предложен Р. Фишером и позволяет находить состоятельные достаточные и, по крайней мере, ассимптотически эффективные оценки. В методе исходят идеи, что полученная выборка х1, х2, …, хn является самой вероятной.
В качестве оценок параметров выбираются те, которые доставляют максимум равноподобия: – уравнение ММП.
На практике вместо производной от L используют производную от ее логарифма и точки максимума совпадают.
Однако доказано: является уравнением , то уравнение единственно.
При дискретном распределении СВХ функция МП выглядит так:
, где L – вероятность получения по гипотетическому закону наступивших значений составивших выборку.
Метод моментов, согласно которому параметры распределения выбирают так, чтобы k первых моментов (или начальных или центральных, или тех и других вместе) равнялись соответствующим статистическим моментам СВХ.
Метод моментов по сравнению с ММП менее громоздок, но его оценки менее эффективны.
Задание:
С целью исследования точности выдерживания скорости самолета произведено 104 замера в [м/с]
765 | 751 | 758 | 750 | 751 | 752 | 750 | 745 |
740 | 770 | 739 | 736 | 750 | 742 | 753 | 751 |
775 | 741 | 757 | 757 | 730 | 739 | 720 | 743 |
745 | 749 | 770 | 790 | 754 | 758 | 758 | 760 |
743 | 750 | 771 | 753 | 765 | 754 | 759 | 742 |
725 | 732 | 755 | 762 | 783 | 760 | 749 | 735 |
750 | 753 | 715 | 762 | 741 | 743 | 784 | 753 |
735 | 770 | 759 | 750 | 734 | 743 | 751 | 751 |
755 | 744 | 713 | 749 | 756 | 761 | 782 | 724 |
720 | 780 | 758 | 748 | 708 | 758 | 758 | 775 |
757 | 755 | 732 | 721 | 747 | 715 | 748 | 787 |
751 | 734 | 752 | 721 | 790 | 739 | 734 | 738 |
761 | 704 | 762 | 786 | 771 | 715 | 720 | 770 |
1) Построить вариационный ряд, статистический ряд распределения, гистограмму, статистическую функцию распределения.
2) Найти оценки для математического ожидания, дисперсии, СКО.
3) Сгладить гистограмму подходящим законом. Оценить сглаживание, т.е. подходит ли плотности вероятности и гистограмме по критерию Пирсона. Провести проверку для уровня значимости 0,05.
4) Найти доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии с вероятностью 0,95.
Вариационный ряд:
704, 708, 713, 715, 715, 715, 720, 720, 720, 721, 721, 724, 725, 730, 732, 732, 734, 734, 734, 735, 735, 736, 738, 739, 739, 739, 740, 741, 741, 742, 742, 743, 743, 743, 743, 744, 745, 745, 747, 748, 748, 749, 749, 749, 750, 750, 750, 750, 750, 750, 751, 751, 751, 751, 751, 751, 752, 752, 753, 753, 753, 753, 754, 754, 755, 755, 755, 756, 757, 757, 757, 758, 758, 758, 758, 758, 758, 759, 759, 760, 760, 761, 761, 762, 762, 762, 765, 765, 770, 770, 770, 770, 771, 771, 775, 775, 780, 782, 783, 784, 786, 787, 790, 790
Статистический ряд распределения:
X | [700-710) | [710-720) | [720-730) | [730-740) | [740-750) | [750-760) | [760-770) | [770-780) | [780-790] |
P* | 2/104= 0,0192 | 4/104= 0,0384 | 7/104= 0,0673 | 13/104= 0,125 | 18/104= 0,1731 | 35/104= 0,3365 | 9/104= 0,0865 | 8/104= 0,0769 | 8/104= 0,0769 |
Статистическая функция распределения:
Гистограмма:
X [от – до] | |||||
700-710 | 2 | 705 | 0,0192 | 0 | 0,0019 |
710-720 | 4 | 715 | 0,0384 | 0,192 | 0,0038 |
720-730 | 7 | 725 | 0,0673 | 0,0576 | 0,0067 |
730-740 | 13 | 735 | 0,125 | 0,1249 | 0,0125 |
740-750 | 18 | 745 | 0,1731 | 0,2499 | 0,0173 |
750-760 | 35 | 755 | 0,3365 | 0,423 | 0,0337 |
760-770 | 9 | 765 | 0,0865 | 0,7595 | 0,0087 |
770-780 | 8 | 775 | 0,0769 | 0,846 | 0,0077 |
780-790 | 8 | 785 | 0,0769 | 0,9229 | 0,0077 |
n = 104 | 1 |
Оценка математического ожидания:
Оценка дисперсии:
Оценка CKO:
Критерий Пирсона (r = l-s; l=9; s=4):
700-710 | 2 | -2,458 | 0,0076 | 0,0205 | 0,041 | 93,60198 |
710-720 | 4 | -1,909 | 0,0281 | 0,0588 | 0,2352 | 60,26241 |
720-730 | 7 | -1,361 | 0,0869 | 0,1221 | 0,8547 | 44,18476 |
730-740 | 13 | -0,812 | 0,2090 | 0,1884 | 2,3491 | 48,29155 |
740-750 | 18 | -0,285 | 0,3897 | 0,0077 | 0,1386 | 2301,801 |
750-760 | 35 | -0,264 | 0,3974 | 0,3993 | 13,9755 | 31,62889 |
760-770 | 9 | 0,833 | 0,7967 | 0,1195 | 1,0755 | 58,38931 |
770-780 | 8 | 1,382 | 0,9162 | 0,057 | 0,456 | 124,8069 |
780-790 | 8 | 1,93 | 0,9732 | 0,0129 | 1,3416 | 33,04583 |
n = 104 | 2,204 | 0,9861 | χ2=2796,013 |
Нахождение доверительного интервала для , при :
В этот интервал попало 99 чисел – неоспоримое большинство. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении не противоречит опытным данным.