курсач (Курсовая по ТВиМС - Метод наименьших квадратов)
Описание файла
Файл "курсач" внутри архива находится в папке "Курсовая по ТВиМС - Метод наименьших квадратов". Документ из архива "Курсовая по ТВиМС - Метод наименьших квадратов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "теория вероятности и математическая статистика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "курсач"
Текст из документа "курсач"
Московский Авиационный Институт
(государственный технический университет)
Курсовая работа по теории вероятностей и математической статистике на тему
«Метод наименьших квадратов»
Выполнила:
Студентка гр. 05-212
Зятькова Н. Е.
Проверил:
Серонин А. Н.
Москва, 2003 г.
Содержание:
-
Этап 1. Моделирование измерений……………………….……….стр. 3
-
Этап 2. Оценка МНК…………………………………………….….стр. 5
-
Этап 3. Доверительные интервалы……………………………..….стр. 10
-
Список литературы…………………………………………………стр. 13
Исходные данные:
Вариант: К=4; N=41; =K*10-3=0.004; ∆=K*10-2=0.04; b1=[K/2]=2; b2=[K/3]=4/3; b3=[K/5]=4/5; =0.1
Этап 1. Моделирование измерений.
Метод наименьших квадратов – один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные шибки. Применяется при обработке наблюдений и является наиболее распространенным методом статистической обработки экспериментальных данных. МНК допускает простую геометрическую интерпретацию, так как напрямую связан с проектированием в конечном евклидовом пространстве на некоторое его подпространство. евклидово пространств – это n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, элементы которого u=(u1,…,un)T и v+(v1,…,vn)T складываются и умножаются на действительные числа по обычным законам, естественным правилам, а скалярное произведение задается соотношением (u,v)=u1v2+u2v2+…+unvn. Скалярное произведение векторов a и b - число (скаляр) (a,b), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. (a,b) = a*b*cos .
МНК используется для отыскания приближенных зависимостей между изучаемыми экспериментальными величинами. Предположим, требуется найти зависимость между наблюдаемыми величинами, не обязательно случайными. Для этого обычно выбирают подходящую функцию, зависящую от некоторых параметров, и подбирают параметры так, чтобы сумма квадратов ошибок приближенной зависимости во всех экспериментальных точках была минимальной. В этом и состоит метод наименьших квадратов.
Модель измерений. Предположим, что переменная y является функцией переменных х1,х2,…,хn: y=f(x1,x2,…,xn). Данное соотношение часто сравнивается с некоторым техническим объектом, для которого переменные x1,x2,…,xn (в данной курсовой работе – 1, t, t2) являются входными параметрами, y – выходной параметр, f – неизвестная характеристика объекта. Но можно осуществить некоторое количество опытов (41), позволяющих по заданным значениям входных параметров (1, t, t2) получить соответствующее значение выходного параметра. рассматривается полиномиальная аппроксимация (т.е. замена одних объектов другими, более простыми), т. е. Функция вида y = b1+b2*t+b3*t2.
В данной части курсовой работы функция f известна - yi = b1+b2*ti+b3*ti, и есть независимые ошибки i. Другими словами, в первом этапе проведение опыта сводится к расчету yi, который представляет собой следующую стохастическую (случайную, вероятную) функцию: yi = b1+b2*ti+b3*ti2+i.
Рассчитываем и заполняем таблицу 1.
Таблица 1. Расчет параметра yi
I | ti | ξi=σ*ξi* | b1+b2ti+b3ti2 | yi=b1+b2ti+b3ti2+ξi | ξi* |
1 | -0,8 | -0,0012 | 1,4453333 | 1,444132405 | -0,30023 |
2 | -0,76 | -0,00511 | 1,4487467 | 1,443635934 | -1,27768 |
3 | -0,72 | 0,00098 | 1,45472 | 1,455697029 | 0,244257 |
4 | -0,68 | 0,00511 | 1,4632533 | 1,468359227 | 1,276474 |
5 | -0,64 | 0,00479 | 1,4743467 | 1,479140068 | 1,19835 |
6 | -0,6 | 0,00693 | 1,488 | 1,494932532 | 1,733133 |
7 | -0,56 | -0,00873 | 1,5042133 | 1,495478983 | -2,18359 |
8 | -0,52 | -0,00094 | 1,5229867 | 1,522049942 | -0,23418 |
9 | -0,48 | 0,00438 | 1,54432 | 1,54870009 | 1,095023 |
10 | -0,44 | -0,00435 | 1,5682133 | 1,563866531 | -1,0867 |
11 | -0,4 | -0,00276 | 1,5946667 | 1,59190585 | -0,6902 |
12 | -0,36 | -0,00676 | 1,62368 | 1,616918271 | -1,69043 |
13 | -0,32 | -0,00739 | 1,6552533 | 1,64786569 | -1,84691 |
14 | -0,28 | -0,00391 | 1,6893867 | 1,685476149 | -0,97763 |
15 | -0,24 | -0,00309 | 1,72608 | 1,722985972 | -0,77351 |
16 | -0,2 | -0,00847 | 1,7653333 | 1,756861608 | -2,11793 |
17 | -0,16 | -0,00227 | 1,8071467 | 1,804874967 | -0,56792 |
18 | -0,12 | -0,00162 | 1,85152 | 1,84990381 | -0,40405 |
19 | -0,08 | 0,00054 | 1,8984533 | 1,898992746 | 0,134853 |
20 | -0,04 | -0,00146 | 1,9479467 | 1,946484695 | -0,36549 |
21 | 0 | -0,00131 | 2 | 1,998692037 | -0,32699 |
22 | 0,04 | -0,00148 | 2,0546133 | 2,053132371 | -0,37024 |
23 | 0,08 | 0,00537 | 2,1117867 | 2,117157233 | 1,342642 |
24 | 0,12 | -0,00034 | 2,17152 | 2,171178862 | -0,08528 |
25 | 0,16 | -0,00074 | 2,2338133 | 2,233068703 | -0,18616 |
26 | 0,2 | -0,00205 | 2,2986667 | 2,296613837 | -0,51321 |
27 | 0,24 | 0,00789 | 2,36608 | 2,373968848 | 1,972212 |
28 | 0,28 | 0,00346 | 2,4360533 | 2,439516025 | 0,865673 |
29 | 0,32 | 0,0095 | 2,5085867 | 2,518089286 | 2,375655 |
30 | 0,36 | -0,00262 | 2,58368 | 2,581060373 | -0,65491 |
31 | 0,4 | 0,00665 | 2,6613333 | 2,667979157 | 1,661456 |
32 | 0,44 | -0,00645 | 2,7415467 | 2,735097076 | -1,6124 |
33 | 0,48 | 0,00216 | 2,82432 | 2,826475793 | 0,538948 |
34 | 0,52 | 0,00361 | 2,9096533 | 2,913262099 | 0,902191 |
35 | 0,56 | 0,00768 | 2,9975467 | 3,005222329 | 1,918916 |
36 | 0,6 | -0,00034 | 3,088 | 3,087661932 | -0,08452 |
37 | 0,64 | -0,0021 | 3,1810133 | 3,178918153 | -0,5238 |
38 | 0,68 | 0,0027 | 3,2765867 | 3,27928722 | 0,675138 |
39 | 0,72 | -0,00153 | 3,37472 | 3,373194705 | -0,38132 |
40 | 0,76 | 0,00303 | 3,4754133 | 3,478443779 | 0,757611 |
41 | 0,8 | -0,00578 | 3,5786667 | 3,57288992 | -1,44419 |
Этап 2. Оценка МНК
Статистика – любая функция результатов опытов, которая не зависит от неизвестных статистических характеристик. Оценкой статистической характеристики называется статистика, реализация которой, полученная в результате опытов, принимается за неизвестное истинное значение параметра. Если математическое ожидание оценки равно характеристике , то оценка несмещенная. Разность М^- - смещение оценки. Оценка статистической характеристики называется состоятельной, если она сходится по вероятности к при неограниченном увеличении опытов.
Проведя серию «опытов» в первом этапе, получили значение выходного параметра у и значение входных параметров 1, t, t2. Теперь по этим данным найдем значения коэффициентов b^ в аппроксимации yi = b1^+b2^*ti + b3^ *t2i, то есть оценку b^ вектора параметров b. По известным входным и выходным параметрам найдем коэффициенты b1^, b2^, b3^ при входных параметрах 1, t, t2 соответственно, которые будут составлять вектор оценок вектора b и будут точечными оценками параметров b1, b2, b3 в исходном уравнении yi = b1+b2*ti+b3*ti2+i.. Так как значение yi, ti, ti2, i переменных в I-ом по счету опытах, то уравнение yi = b1+b2*ti+b3*ti2+i можно записать в виде системы уравнений:
y1 = b1+b2*t1+b3*t12+1
y2 = b1+b2*t2+b3*t22+2
…
yn = b1+b2*tn+b3*tn2+n