Матем анализ 3 семестр вероятность (Математический анализ (Теория Вероятности))
Описание файла
Документ из архива "Математический анализ (Теория Вероятности)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из , которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "теория вероятности" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Матем анализ 3 семестр вероятность"
Текст из документа "Матем анализ 3 семестр вероятность"
38
Галкин С.В.
Краткий курс математического анализа
в лекционном изложении
для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана
(третий семестр)
вероятность
Москва 2005
Лекция11.
Вероятность
В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).
Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.
Пространством элементарных событий (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {1, …n …}, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.
Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.
Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (1=Г) или решкой (1=Р). =(Г,Р).
Пример. Бросаются две монеты = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}
Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку.
= {(x,y), a<x<b, c<y<d}
Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается .
Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается .
Действия над событиями.
События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.
Пространство будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.
Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор десятки
Свойства операций над событиями
1. =Ø 6. А = А
2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А В, то
3. А А = А 8 = А А + В = В
4. А + = 9. А В = А
5. А + Ø = А 10. = Ø
Коммутативность операций
А + В = В + А; А В = В А
Ассоциативность операций
А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С
Дистрибутивность операции сложения относительно умножения
А (В + С) = А В + А С
Дистрибутивность операции умножения относительно сложения
А + (В С) = (А + В)(А + С)
Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.
В самом деле, BAA, ACA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.
Правило двойственности (теорема де Моргана)
Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным
Пример.
Алгебра событий.
Пусть - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что
-
S, 2) A, B S A+BS, ABS, A\BS.
Следствие = \ S
Пусть содержит конечное число элементов, = {1,…n}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств .
S={, {1}, … {n}, {1,2}, …{1,n}, …{n-1,n}, …{1, …,n}}, в ней всего 2n элементов
Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.
Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, A\B, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий.
Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится - алгебра событий.
Сигма-алгеброй (-алгеброй) событий называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что
2) A1, A2, …An, …( A1+A2+ …+An+, …), ….
Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.
Вероятность.
Классическое определение вероятности события
В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.
Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.
В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.
Пусть N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа NA случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.
Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = 1, 2,…,6 N = 6.
А – количество очков кратно трем А = 3,6 NA = 2.
2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = 11, 12,…,66; N =36.
А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 4
3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.
А – шар черный.
Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:
1) Р(Ω) = 1 (NA = N);
3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( NA+B=NA+NB)
и их следствия
4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;
5) Р( ) = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р( ) = 1);
6) Если , то Р(А) Р(В) (NA NB).
При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.
Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.
Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку
Сочетания | Размещения | |
Без возвращения | ||
С возвращением |
Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm= =m!. Поэтому .
Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).