Путилов К.А. Термодинамика (Путилов К.А. Термодинамика.djvu), страница 9
Описание файла
DJVU-файл из архива "Путилов К.А. Термодинамика.djvu", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физические основы механики" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 9 - страница
Так, для кислорода вместо 8,315 10' эрг/град г-моль получается 8,312 1О', для азота 8,314 10', для водорода 8,316 10'. Это несовпадение находится в связи с тем, что вообще все газы даже при обычной плотности не вполне точно следуют законам Бойля и Гей-Люсака. В технических расчетах массу газа вместо молей обычно выражают в килограммах. Пусть обьем о содержит п килограммов газа. Коэффициент т в уравнении Клапейрона — Менделеева означает число молей, содержащихся в объеме о, т. е. в данном случаев п кг газа. Так как моль составляет М граммов (где М вЂ” молекулярный вес газа), то, очевидно, в 1 г газа содержится 1/М долей моля и, следовательно, в и кг газа содержится т = и 1000/М молей. тия показывают заметное отклонение от уравнения (1.9), вычисление характеристической постоянной проводят методом графической экстраполяции.
Значения характеристических газовых постоянных В некоторых веществ для случая, когда давление в уравнении выражено в килограммах на квадратный метр, а обьем выражен в кубических метрах, приведены ниже: Вещество В,кгм7грод кг Вещестео В,кгм,'грод кг Не . ° ° ° 422,6 $0е.... ° 13,15 Ое ..
° ° 26,47 СНь..... 52,95 Хе ... ° 30, 13 СеНь .... 30, 26 ИО.... 28 19 НеО..... 47,06 ХеО~. . . . 19,20 СеНьОН . . . 18,42 СО . . . . 39,26 СеНе . . ° ° 10,86 СОе . . . . 19,14 Воздух . . . 29,27 Как известно, по закону Джоуля внутренняя энергия У (см. стр. 55) идеального газа пропорциональна абсолютной температуре, т. е. и= С,Т. (1.1О) Это означает, что теплоемкость С, идеального газа при постоянном объеме есть величина постоянная, не зависящая ни от температуры, ни от плотности газа. По классической статистике теплоемкость одного моля всех одно-, двух- и многоатомных газов равна соответственно: С,= — Я 3 кагз; 3 С,= — 14 5 как; 5 С, ЗЯ=6 как. Последнее значение обычно плохо оправдывается: Теплота, необходимая для нагревания одного моля газа на 1' при постоянном давлении, т. е.
теплоемкость газа при постоянном давлении С, превышает теплоемкость газа при постоянном объеме С„на величину рабо- тЫ Р (оз — 0,), КОТОРУЮ Гаэ ПРОИЗВОДИТ ВСЛЕДСТВИЕ РаСШИРЕНИЯ, КОГДа ПРН неизменном давлении его нагревают на 1'. Поскольку Т,— Т, = 1', то по уравнению Клапейрона — Менделеева р(э,— о,) =)г(Тз — Т,) =11. Стало быть,' для газов любой атомности С,— С„=Я (1А1) — уравнение Р. Майера. При изотермическом расширении газа его внутренняя энергия остается неизменной и газ производит работу, равную тому количеству тепла, которое требуется сообщить, чтобы при расширении температура газа осталась неизоь менной.
Исходя из общего выражения работы расширения А = ~ рх(о и учитывая, что по уравнению Клапейрона — Менделеевазр=т —, получаем 77Т важную для приложений термодинамики формулу изотермической работы газа Аь = Яь = рйТ10 — ', (1.12) рт В общем случае теплота Я, сообщаемая телу, идет на увеличение внутренней энергии и на производство работы А. При бесконечно, малом измене- иии сосгояния бЛ = р ао и (1.13) Поскольку для идеальных газов (7 = тС,Т, то бЯ = тС,йТ+ рдо. Если равновесное расширение или сжатие газа происходит адиабатно, т.
е. без притока или отнятия тепла (ЬЯ 0), то очевидно, что изменение температуры и объема в этом 'случае описывается уравнением ЬЯ = тС„ЕТ+ рдо = О. Проинтегрируем это уравнение. Для этого разделим переменные, что легко йТ достигается подстановкой р = т — и почленным делением на Т: зя ит ио =чСр +тЯ 0 Т= 'Т о Учитывая, что ах/х есть дифференциал натурального логарифма х, мы видим, что правую часть написанного выражения можно получить, если, во-пер- вых, продифференцировать функцию 5 = т (С,1п Т + й 1п о + а), (1.14) где а = сопз1, и, во-вторых, принять, что функция Я при равновесном адиа'- батном расширении или сжатии остается неизменной (аЯ = 0).
Эта функция Я есть энтропия идеального газа. Потенцируя найденное соотношение между Т и о при равновесном адиабатном'расширении или сжатии газа, получаем для одного моля (т = 1) 8 —,а Т о" ' = сопз1 = ехр — ' С„ где для удобства сопоставления с последующими формулами введено обозначение С, с,— с, и м = — Р и стало быть к — 1 = С„ з с„ с, . где а, = а т- Я 1п т)т = сонэ(. (1 16) Отсюда, потенцируя, получаем второе уравнение Пуассона т З вЂ” о — „, =сонэ( = ехр —, С к (1.17) 29 Выведенная зависимость между Т и о при равновесном адиабатном про- цессе представляет собой одно из уравнений Пуассона для адиабаты газа.
Два других уравнения Пуассона (для адиабат газа) определяют'зависимость между р и о и между Т и р. Соответственно и энтропия газа может быть, представлена как функция этих параметров. Подставим в формулу (1.14) для 3 под знак логарифма вместо объема его выражение по~ уравнению Клапейрона — Менделеева о = т —. ЛогаКТ Р рифмируя, получим три члена. Первый из них Я 1п т)т объединим с констан- той а и обозначим сумму их через а,, Второй член )т 1и Т соединим с пер- вым членом уравнения С„!п Т, вынесем за скобки 1и Т и учтем, что С„+ + Р = С,. Таким образом, находим 5 = т (С 1п Т вЂ” Л 1п р + а,), где по-прежнему С, н ! С,-С„ /7 х=с— . а =.-= — 3à — Е- —.
° в в Возвращаясь опять к первой формуле для 5 (1.14), заменим в ней абсолютную температуру ее выражением из уравнения Клапейрона — Менделеева Т = †. Логарифмируя, получаем три члена. Первый из них С, !и р. ри Второй член С„!п о соединим с Я 1и о, вынесем за скобки 1и р и учтем, что С„+ Я = С . Третий член — С, !п т Я объединим с константой а и обозначим их алгебраическую сумму через а,. Таким образом получим: о = о (Се !и р + Ср 1п р + а,), (1.18) рде а, = а — С,1п чЖ = соиз1.
Потенцируя, находим третье уравнение Пуассона, определяющее вид адиабат газа в диаграмме (р, р): 8 — аа ро" = сопи! = ехр — . С (1.19) Так как всегда н» 1, то, сопоставляя (1.19) с уравнением изотерм газа (1.8), мы видим, что в диаграмме(р, о) адиабаты круче спадают к оси объемов, чем изотермы. В табл. 2 приведены теоретические значения и и других показателей степени в уравнениях Пуассона для газов разной атомности. Таблица 2 Значения и н Г (и) хая газов разной атомноста 1 С„ х — 1 Гаа 3/2 5/2 6/2 Одноатомиый /1нухатомиый Миогоатомный 5/3 7/5 8/6 2/3 2/5 2/'6 2/5 2/7 2/8 Уравнения Пуассона по смыслу их вывода приложимы только'к равновесному аднабатному процессу. Для расчета быстрого (а значит, и неравновесного) адиабатного сжатия или расширения уравнениями Пуассона, по сути дела, пользоваться нельзя.
Резко, ударом увеличивая нагрузку на поршень, удерживающий газ в цилиндре, мы затрачиваем на сжатие газа больше работы, чем потребовалось бы при осторожном, постепенном увеличении нагрузки; в связи с этим температура газа будет возрастать быстрее, чем это следует по уравнению Пуассона. При неравновесном расширении газ производит меньц1ую работу, чем мог бы произвести (при равновесном расширении), и поэтому температура будет падать медленнее. Для расчета неравновесных (быстро протекающих) адиабатных процессов на практике часто пользуются уравнениями, тождественными по виду с уравнениями Пуассона,'с тем, однако, существенным отличием, что величинух, которая в уравнениях Пуассона означает отношение теплоемкостей С„/С„, рассматривают просто как некоторую эмпирическую константу и подбирают такое значение для нее, при котором этн, в сущности незаконно применямые, уравнения дают наилучшее согласие с показаниями опыта.
Чтобы реализовать, хотя бы приближенно, условия равновесного адиабатного сжатия или расширения, надо, понятно, изолировать тело в тепловом отношении от окружающихтел, например поместить тело в цилиндр, подвешенный внутри другого цилиндра, который отделен от первого безвоздушным промежутком. Легче осуществить неравновесное адиабатное сжатие или расширение. При крайне быстром сжатии тело не успевает отдать заметное количество тепла окружающей среде, и поэтому приближенно можно считать, что крайне быстрое сжатие происходит адиабатно. На этом основании прилагают, например, формулу адиабатной работы к сжатию горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания. Для газов работу адиабатного расширения можно вычислить по падению температуры.
Действительно, по закону Джоуля для ч молей газа У, — Уз А *= чС,(Т, — Т,), (1.20) Если адиабатное расширение или сжатие протекало равновесно, то согласно уравнениям Пуассона, которые были пояснены выше, должно иметь место следующее соотношение между параметрами состояния газа в начале и в конце процесса: т ( и~)~ь ( р,) — „ Воспользовавшисьэтимсоотношением, напишем две формулы, часто применяемые на практике для вычисления работы адиабатного расширения газа. С этой целью в выражении (1.20) вынесем Т, за скобки н заменим С„через. Д/(я — 1). Далее, вместо отношения абсолютных температур Т4Т, подставим.