Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002

Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002, страница 20

DJVU-файл Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002, страница 20 Биофизика (2706): Лекции - 5 семестрГ.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002: Биофизика - DJVU, страница 20 (2706) - СтудИзба2019-05-10СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "биофизика" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 20 - страница

вылив), так как быстрый процосс не везде устойчив. «Складка» соответствует л«одел»п т — =-Ц(и, .х), — =-Р(и, х) — — — и-~х . ди , дх г а '' ' сй (6. 18) Здесь т» 1, характерное время изменения переменной х будем считать порядка единицы. Изоклина Р =- О имеет устойчивую ветвь — аттрактор в форме «складким При медленном уменьшении и в соответствии с первым уравнением (6.18) при достижении и = О произойдет срыв изображающей точки, которая либо уйдет на ж, либо перескочит на другой устойчивый аттрактор. Заметим, что в реальных моделях такая устойчивая ветвь всегда присутствует.

Катастрофа типа «складки» появляется в моделях, описывающих релаксационные колебания, «ждущие» регкимы и триггерные системы (параметрическое переключение). В распределенных моделях (2-й том лекций) модели, имеющие «складки», используются при описании автоволновых процессов и диссипативных структур. Трехкратное равновесие (сборка) Бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия узлов Щ, Ог и седла луо между ними (в рождении двух устойчивых узлов из седла) (рис. 6.7, 6.8). Бифуркация имеет коразмерность 2 и требует для своего описания как минимум двух парил«ет1юв. Модельной системой для нее служит уравнение: х .=- ал — азх+х . 3 (6.

19) Рис. 6.6. Фазопараметрическая диаграмма бифуркации седло-узел: а — с одним управляющим параллетроль При а > О в системе нет устойчивых равновесий, прв а < О в системе два равновесия, устойчивое и неустойчивое, б — бифуркации седло-узел с двумя управляюшими параметрамн (катастрофа типа складка). à — линяя бифуркации на плоскости параметров аь аг. Проблема быстрых и .медлениык переменных. Теорема Тихонова.

Типы 61гф11ркиций 105 Рис. 6.7. Трансформации фазового портрета при бифуркации «розкдение двух узлов из седлам а — фазовый портрет в незаштрихованной области (рис. 6.8 и), б — фазовый портрет на границе 1ц е — фазовый портрет иа гравице 1з, е — фазовый портрет е заштрихованной области представлен двумя устойчивыми узлами и седлом между ними. О Рис. 6.8. Бифуркации трехкратного равновесия (катастрофа — сборка). а — бифуркационвая диаграмма, б -. фазопараметрическая .диаграмма. Система имеет три особых точки..:!ицейный анализ показывает, что при аз ) О и любом ог система имеет единственное состояние равновесия Цо с отрипательным собственным значением.

то есть асимптотически устойчивое. При оя < О существует область значений аг (заштрихованная область на бифуркациоииой диаграмме (рис. 6.8 и)), где система имеет три состояния равновесия Ом сля и Яо, причем Яо неустойчивое состояние равновесия, а Ям ГгЗз -- устой пивые. Такие системы (триггерные) широко применяются для описания бистабильных режимов, их модели будут подробно рассмотрены в лекции 7. Границы области бистабильности образованы линиями 1г и 1з, соответствующими бифуркациям седло-узел, на которых два из состояний равновесия г.чиваются и исче- 106 Лекция б зают.

Линии [з и 12 сходятся в точке А (оз = ог = О), где одновременно выполняются лва условия, поэтому бифуркация в этой точке, называемая трехкратным равновесием, имеет коразмерность 2. Для уравнения 6.19 в точке А фазовый портрет представляет собой седло в фазопараметрическом пространстве (рис. 6.8 б), имеет место структура, называемая сборкой.

Верхний и нижний лист сборки соответствуют устойчивым состояниям равновесия, а средний неустойчивому. На ребрах сборки имеют место катастрофы типа складки. Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются при описании релаксациониых автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов со смещением средней точки и диссипативных структур ступенчатого типа. Слияние четырех или пяти особых точек приводит к катастрофам типа «ласточкин хвост» (рис.

6.9) и «бабочка» (В.И. Арнольд, Теория катастроф, Мч Знание, 1983). Фазовые пространства при этом -- четырех- и пятимерные. Отметим важное различие катастроф типа складки и сборки. «Складка» не описывает поведение системы па больших временах. Изображающая точка уходит из рассматриваемои области фазового простран/ ства, где справедлива формула (6.18). Ката/ строфа складка не локализуема, то же относится к катаст1юфе «ласточкин хвост» с четной коразмерногтью (рис.

6.9). В случае сборки изобрюкающая точка остается вблизи прежнего сгационарного состояния. Сборка локвлиэуема, как н катастроРис. 6 9. Бифуркацня «ласточкин хвост». Фа «оабочка» с четной коРазмеРностыо. Бифуркации, приводящие к возникновению незатухающих колебаний и квазистохастических режимов, мы рассмотрим в лекциях 8 и 10., соответственно.

Литература [Ц А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, Н. Н. Гордон, А. Г. Майер, Киче«то«иная теория динами- ческих систем впгорого порядка, М., Наука, 1966. [2[ В. И. Арнольд, Творил катастроф, М., Изд. МГУ, 1983. [3[ А.Д. Базыкин. Ю.А. Кузнецов, А.И. Хибник, Пор«прети бифуркаций, М., Изд.

Знание., 1989. [4[ Ф. С. Березовская, Г.П. Карев, Дифференциальние уравнения в математических моде- лях, М., Иэд. МИРЭА, 2000. [6[ С.Д. Варфоломеев, К. Г. Гуревич, Ьиокинетика, М., Фанр-Пресс, 1998, [6[ А.И. Лобанов, И.Б. Петров, Вычислительнне методи для инализа моделей сложних ди- на.м.ичсских систем, М., Изд. МФТИ, .2000. [7] А.Н.

Тихонов, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые пара.ветры при прозиводнмх, Мат. сб. т. 32, АЭЗ, 1962. [8[ Д.А. Френк-Каменепкий, Диффузия и теплопередача в хи.наческой кинетике, М., 1967. [9[ Б. ТЬот, Югис1ига1 бгаб«1йу апд Мо«рйоуепсмз, Х.У., 1972. Триггер. Примеры систем г. двумя устойчивыми стационарными составы я и.

Конкуреыцил. Силовое и параметрическое аереключение триггеры Эволюция. Отбор одного иг двух и несколъких равноираоных видов. Генетический триггер Жакоба и Моно. Важная особенность биологических систем — переключение из одного режима функционирования в другой. Приведем простые примеры переключения процессов в живых системах; ° Соп и бодрствование — зто разные типы метаболизма.

Переключение происходит периодически и синхронизируется геофизическим ритмом. ° У большинства насекомых один и тот же организм может существовать в виде гусеницы, куколки, бабочки. Переключение происходит последовательно в соогветствин с генетической программой. ° Днфференцировка тканей — клетки получаются путеъ1 деления из одного типа клеток, но впоследствии ха>клан выполняет свои функции, На фазовой плоскости триггерной системе в простейшем случае соответствует два илп несколько устойчивых стационарных решений, разделенных сепаратрисами.

Напомним, что все особые точки (устойчивые и седло) лежат на пересечении главных изоклин изоклин вертикальных и горизонтальных касательных (см. лекцию 4). На рис. 7.1 представлен относительно простой фазовый портрет триггерпой системы, описывающей явление конкуренции двух одинаковых видов: Рис. 7.1.

Фазовый портрет триггерной системы, описывающей явление конкуренции между двумя одинаковыми видами. Соответствукнцая система уравнений имеет вид: г(хг а1! = х — х1т — ах, г Ж х1 т12 2 ат1 (7. 1) Такая система 1, х1=хг решения: имеет четыре сгационарных = О -- неустойчивый узел: 1 ! ч-а — седло; 2. х1 = тг 3.

х1 — — —, хг = О устойчивый узел; 11О Лекция 7 4, х1 =- О, х =- — „устойчивый узел. Бистабильная система может иметь гораздо более Гложнук> структуру фазового портрета. Пример такой системы движение шарика в ложбине с двумя лунками в присутствии трения (Д. С. Чврнавскпй). Рис, 7.2. Фазовый портрет системы 7,2 (шарик в ложбине с двумя лунками).

Темным обозна- чена область притяжения стапиоиарного состояния (-~-1) (Д. С. Чернавский, 1986). Система описывается уравнениями: — —. — ау + Ь(х — х ). др дС (7.2) В такой системе три стационарных состояния. Состояние х —. р =- Π— седло. Два других стационарных состояния устойчивые фокусы. Вблизи этих стационарных состояний траектории представляют собой закручивающиеся спирали. Вдали от стационарных состояний области притяжения имен>т слоистую структуру. Толщина слоев уменьшается при умвныпении параметра а. Как видно из приведенных вы1не щп»перов, в тприггерных системах и тп>ведение вв времени, и стационарное решение зависят не только от параметров, но и от начальных условий.

Способы переключения триггера Слово триггер означает переключатель. Встает вопрос, как можно переключить Т1>иггвр из ОднОГО В дрзчОР стациОна1>нОР ГОстояннР7 Рассмотрим фазовый портрет системы, обладающей двумя устойчивыми стационарными состояниями (рис. 7.3). Здесь а, с — устойчивые стационарные состояния, 6 СРДЛО. Если начальпов положение изображающей точки расположено левее сгиаратрись1 седла (пунктирная линия)., система находится в области прнтя>кения особой точки а и со временем стремится к этому устойчивому стационарному состоянию, Из точек, лежаших правее свпаратрисы, сис>ема будет двигаться к особой точке с. Рассмотрим возможные способы переключения системы из режима а в режим с.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее