Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы

И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 24

DJVU-файл И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 24 Математический анализ (2693): Книга - 3 семестрИ.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы: Математический анализ - DJVU, страница 2019-05-06СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 24 - страница

° ) ло!. Х= / (! — —,„,— ог!),;,-+-, -)! ...„тч.„ .) (, * ° *) )!.ч) оси Оу, < В силу равенства Э/ у' у') Ой.у у у1 2у у у', у — 1 — — соз — — — !1о1в — + соз / = соз + о!в —, ар (л з х/ Эх ~ х х ' х/ = ...,з можем применить формулу (А), в которой иитеграл по перемеииой у равеи нулю (таь как путь иитегрироваиия параллелен оси Оз): г я х1 ! = )! (! — -) ! - (* ! .

ч -) ! В примерах 152 — ) 56 будем иаходить первообразвую функцию по известиому ее дифференциалу ыо, пользуясь ири атом формуламп (6) и (7), п.4А. или видоизмевив их. например. иногда вл!есто формулы (6) бывает полезна формула з ы в(х. В) = / Р(!. О) Щ + ~ )О(хо, 1) ЛГ + С. (в) Уо если путь из точки (хо, уо) в точку (х. о) юобраи о ввле ломавоб.

состоящей из отрезка. парзл- лельиоге >си Оо и отрезка. иараллольиого сн Ог (рис. 1 ). 1!, а) х !(у — у йх 150. 1 = г вдоль путей. ие пересекающих биссектрису первого коорди(х — у)з )а. -П иатиаго угла. ° Здесь Р(х. у) = — ф-) —,, я(х, у) = з г, о Е = з = — 2"т, и мы убехсдаемся атом, что подыитегральиое выражение является полиым дифференциалом некоторой функции во всякой одиосвязиой области. содержащей точки (О, -1), (1, О) и ие содержащей точек прямой ; = ((х, у) Е И~ ! у = х). Применив формулу (А), получим 14. Иитетркроваине иа хиотообразияк 169 Найтк первообразиую функцию в, если: 152.

6з = (х +2ху — у )(!х+(х' — 2ху-У )(!У. м Применим формулу (6), пА.4, взяв ха = О Уо = О. Получим (*л)=Уза,У(' — 3 -Р(ю,а- а о з уз +,'у- ху' — — +С. (в 3 3 (ха + 2ху+ буг) ((х+(х — 2ху+ у ) ~у (х + у)з < Применим формулу (В) считая, что хо = О, Уо За О— любое фиксированное. Приняв во внимание равенства Р(х, У) = — + з, 1З(х, У) оа з, 1 4 уз (х — у) = +у (х+у)" ' =(+у)" получим Ркс. 1Т (х, у) = ) ~~ — + — ~) 61+ ~ — + С = (~!+у (!+у)з) / З зо = !з )я+у! — !з)у) — +2+!и !у(-!з)уо)+С = !з (я+ у! — +Сг, С( = сааза. м 2уг 2 уз (.

зс )г (х+ у)' 154. (!з = а (а" (х — у + 2) + у) (!х + а* (о"(х — у) + 1) 6У. ч Применим формулу (6), п.4.4, подагоя хо = О, уо = О. Получим (о (о (*, (=!( з+ (з ° ")(а(.-(+ ( + -(+и"~ +:("( — +и+(~ +- о о а а не +з(х — у+1)+а у+С(, С( =С вЂ” 1. в Найтк первообразную фуикпкю н, если: 155. йи = (х — 2ух)(!х + (уг — 2хх)(!у+ (зг — 2ху)(!х. М Записав (!ги в виде г г г 'х +у +з ('з з з Их+ У (!у+х (!з — 2(у*(!с+ хо(!у+хубх) =(! ~ 3 — 2хуз имеем са(х, у, з) = -(х +у +х ) — 2хух+ С, С =сааза. 6ь з з з 3 156.

6н= 1--+- 6х+ — + —, 6у ) ~ ") о о (..и..(-~(ь- — + — )з а! ( — ~-)а-1 — а~а, а М Вмре(кение и является полным дифференциалом в любой области, не содерхз(пей качана коордикат и точек плоскостей хОУ, хОх. Применив формулу (Т), пА.4, получим 1то Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы где (хз. уо. зз) — некоторая фиксированная точка, С = сопзы 1Интегрирул, находим 1 уз ~ / 1 уо) ху х хуз х ху ху ы(х. у, г)=х 1 — — + — — хе 1 — — + — ) + — — — — — + — + — — — +С.

уо хз ) ~, уз хо ) га у хо уо г ло Взяв, например, хо ж уз ж го = 1! получим х ху ге(х, у. х) = х — -+ — +С!, С! = сопзп > у 157. Найти работу. производимую силой тюкести, юзгда материальная точка массы пг перелгещается из полол!ения (хг, уг, х!) в положение (хэ! уэ, хз), Ось Ох направлена вертикально вверх. < Сила тюкести есть вектор †функц Р ж (Р, 0! Рь) = (О! О! -гпд), где д — ускорение свободного падения! а выражение Р Нх + 0!1у + К!1х ж — пздйх является полныл! днфференциалолг функции и = -гоуз.

Поэтому работа силы У по перемещению материальной точки из положения (хг! уг, х!) в положение (хг, уз, хг) не зависит от формы траектории и равна величине 1 з,эз,зг) А = Розх +Яг1у+ Аозт = и(хэ, уг. зз) — и(х!. уг, х!) = -пгд(гг — гг). > 1*! э! *!1 158. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалемию материальной точки от начала координат, если эта точка списывает в направлении. иротмвоположнолг коду часовой стрелки, положительную четверть хэ уз эллипса; = (х.

у) Е И ! — + — = 1 лз $2 м Пусть М = (х, у) — произвольная точка па кривой; !. положительной четверти эллипса ",, а г =,/хэ + уэ — расстояние от этой точки до начала координат. Тогда упругая сила Р, направленная из точки М в начало координат, имеет внд У(х, у) = рте(М, О) ! где д — некоторая постоянная, е(М, О) — орт, направленный из точки М в начало координат. Поскольку е(М, О) = — —,, где г = (х! у) — радиус-вехтор точки М, то Х(х, у) = -дг = (-дх, -ну). Значение работы А найдем, вычислив интеграл Л = — д / хйх+у!гу= — — о(х +у ).

г( э! Как и в предыдущей задаче. работа А не зависит от формы траектории точки и равна разности змачений потенциала н(х, у) = — «(х + уэ) силовой функции Х в точках (О, З) и (и. О): А= — — (Ь вЂ” а ). в д з 2 » 159. Найти работу силы тяготемия )Х( = —, где г = хэ+уэ+лз„действующей на гз ' единичную массу, когда последняя перемещается из точки М! = (хг, уг, л!) в точку Мэ = (хэ, уз, гг). М Сила тяготения У является центральной а!пой; поскольку ее линия действия проходит через начало координат. Поэтому можем ее представить в анде Р= — е(М,0)= — — ' ж-»~ —. —.

— ), 1» г(ОМ) гх у хт г 1гз' „з гз) ' ГУ2 Гл. 2. Кратные и яриволпнейиые интегралы Окончательно получаем л = «(1+ л/2). л» ГГ а'а 162. 1 и 0 — где Я вЂ” поверхность эллиисонда с полуосями я, 6. с. а б — расстояние 0 л ' от центра эллипсоида до плоскости, касательной х элеыенту Ыо поверхности эллипсоида. М расстояние б определяется формулой б = х соь О + у соя р + х соя э.

где соха, саад, сол Э вЂ” направляющие хосииусы внешней единичной норлшли и к поверхности эллппсоида в точке (х, у, г). Запишем параметрические уравнения поверхности эллипсаида в виде х ю а зш В соь р, у ««Ь ьлл В зш р, г ь«с соя В (О ( В < т, О ( л«< 2«). Применим форыулу (9), п.4.3, полагая там и = В, л = л«, б1схадя иэ симыегрии. мохсен написать равенство 51 где Ял — васьыая часть поверхности эллипсоида, леясащая в первоы антанте.

Если (х, у. «) б 5л, то 0 (~ В ( <$, 0 < р ( <-'. Вычлгслплг направляющие косинусы вектора внешней единичной нормали п в тачке (х, у. -) б Ял ~ д5л. где дал — край поверхности ал. Для этога найдем Р(у, х) Р(х, х) Р(х, у) Р(В, р) ' Р(В, р): Р(В, р) Писем А = бсыл Всеь р, В = ясьглг див лг, С = ьбьш ВсозВ. Тах как С ) 0 при 0 < В < -' и указанный вектор единичной нормали и в кюкдай точке г множества Ял ~дЯл образует с положительныы направлением оси Ох острый угол, то соь Э > О, следовательно, А "т=й«»т*»с "'«=~+« »~Э': "л=~ »в*.С Залгеиив поверхностный интег ал соответствующим еллл двойным, получим, приниллая ва вниыание, что ьЯ = Аз+ Вг+СгВВНль, Аг+3г+Сг '=' ) Ах(В,р)+Ву(В,„)+С,(В,,)"" =П и где й = ((В.

р) б бб: О < В < —, 0 < Лг < —,). Сделав элементарные преобразования, находим Ах(В, р) + Ву(В, лг) + Сх(В, ль) = ьбсгйо В. А +В +С =Ь с мп Всоз у+о с з1п Вз!и у+и Ь ьш Всоз В= гг л г гг л г гг.г г г г г . г зш Всаз р мв Взбл ьг соь В г г г " г г =ьЬсяш В г бг я Ьг сг Окончательно имеем / . „~ ~ б»злпгрсозглг зшгВзшглг созгВ '1 ь ь = вяб» / ~- ~ — + — ) ьлэ В+ — соз В) мп В еВ = г я г (,4 ~аз бг) 2сг ь $4. Интегрирование иа многообразиях 129 На Я, и Я, выдовняетсз равенство ИЯ = ийхду, в силу чего первые дза интеграла в о~алой части равенства являются двойными интеграламн в замкнутой области 0 = ((х, у) Е К: хэ+у» йс~). Принимая во внимание равенства и( = О, н! = Н, получим ~(х'+ у'+ ) 4Я+ Ц(х'+ у'+,') 4Я = =Д~(и[ 'и,чин) и,и,= ии'и~Д~( 'и '~и и,.

Переходя к полярным координатам, находим 2Дт'ит)и и (и (/и = т. и а а На Яз выполняются равенства х + у = йй, ЫЯ = и . причем Ян проектируется на 2 2 э П!ини Лэ ни' прямоугольник йии — — ((х, н) Е м~: (х(»» Л, О ( и» »Н), в силу чего имеем л и и дО „тит.)иили/ ° (и* Н~„згии(и.,и*)1 хи -н о а тх 4ййН Н + — ) атсзт — ~ их 2лКН ~ Л + — ) . З) Н!э (, З) Складывая полученные равенства, окончательно находим й (Н(Н+ Н)э + 2Нз) 173.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее