Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы

И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 11

DJVU-файл И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 11 Математический анализ (2693): Книга - 3 семестрИ.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы: Математический анализ - DJVU, страница 2019-05-06СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 11 - страница

Если множество К выпукло в направлении оси Ох, т.е. его можно представить в виде К = ((х, у) б Ь»: с < у < д, х»(у) < х < хг(у)), (4) где х», хг — кусочно-гладкие функции, и, кроме того, существует интеграл 1Ь) у(х, у)дх, л»Ь) то двойной интеграл выражается через повторный следующим образом: в *зЬ) О г (*, у) дх ду = / ду [' у(щ у) дх. (5) »(ь) Предположим, что К вЂ” выпуклое в направлении оси Оу множество, т.е, что его можно представить в виде 74 Гл. 2.

Кратные н криволинейные интегралы Если множество К выпукло, то при выполнении условий, сформулированных в следствии 2 из теоремы Фубини, справедливы одновременно равенства (3) и (Б): Уз( ) »з(у) / Г(х, У)дкдУ»» / Ых / У(х, У)дУ = з(' дУ / У(г, У)дк. (8) К У!(») »!(У) 2. Пусть К С Я вЂ” компакт с краем дК, являющимся гладкой или кусочно — гладкой з поверхностью класса С . Если У ! К )И вЂ” интегрируемая на компакте К функция, то ее 1 интеграл Римана / Г(х) Их называется тройныз< интегралом функции 7 и обозначается з(г, у, г) дх Йудг. (7) к Пусть К = ((х, у, г) б )й~ ! а < х < Ь, уз(к) < у < уз(к), гг(х,.у) < г < гг(х, у)), где у1, уз, »1.

гг — гладкие или кусочно-гладкие функции, и двойной интеграл / Г(х, у, г) дуду у!(»)<У<уз(*) !(», У)< < 2(» У) существует !Ьк б (а, Ь]. Применив теорему Фубини! получаем Х(х, у, г) Нк Нудг = / дх // У(к, у, г) дуде. к У!( )<У<уз( ) '!(* У)й'<'г(* И Если, кроме того, Ч(г, у) б ((г, у) б У1~ ! а < к < Ь, уг(к) < у < уз(х)) существует ' (* У) 1(к, у, г) Ыг, !(, У) то, согласно следствию 2 из теоремы Фубиии, справедливо равенство Ь Уг(») *2(» У) )!(! !!.!, .!1.1 з* - ~ !.

~ ! (! !!., » !н*. (8) к » У!( ) !( , У) Если компакт К нс является выпуклым множеством, но его можно представить в виде объединения выпуклых множеств без общих внутренних точек, то следует воспользоваться свойством аддитивности кратного интеграла и представить его в виде суммы интегралов по этим множествам, заменив каждое слагаемое повторным интегралом.

Г(х) дх = / у(й(Г))] дат й'(Г)] О1, 1.8. Замена переменных в интеграле Римана. Теорема. Пусть О и О' — выпуклые области евклидова пространства И~ с фиксированным базисом, К С О вЂ” компакт с краем дЛ (гиперповерхностью размерности т — 1 класса С ) и б — С вЂ” диффеоморфизм О' на О. Если з ! К 2 — непрерь!оная на компакте К функция, то справедлива формула замены переменных в гп-кратном интеграле римана / / (Х, у) дт ду = ~~ / («1(21, 22), с2(21, 22)) дг! 422. Р(*, у) Р(71, 22) В частности, если р; (р, р) б- (», у) — отображение Из м~, определяемое равенствами (4) х = р со*2), у = рыл 12, которые называют фориулалт пера«ода к поляриын коордииаталб. то / 7(х.

у) д» ду = ~~/(рсоз(р, рз)л(р)р дрд(2, (5) Ю о' поскольку '" = р. Заметим, что в формулах (3), (5) вместо областей Р и Р' можно о(л, р(р, ( взять нх замыкания Р и Р, так как границы этих областей имеют двумерный объем О. Довольно часто при замене переменных в двойных интегралах переходят от декартовых координат к обобщенным полярным координатам по формулам х=арсоз брб у=5рял (р (р>0,0<бр<2л), (5) где параметр и выбирается надлежащим образом. В этом случае 2/(х, у) = а6ор«1п !2 соя р, Р(р, р) Пусть р: (р, В, (2) б (», у, «) — отображение 55 И определяемое системой г з т=рз)лдсозбр. утрявдзш(р, »=рсозВ (р>0, 0<8<», 0<р<2т), (7) которую называют форлбулалби перехода к сферическим координаталс Предположим, что в пространстве переменных», у, «задана измеримая по Жордану область О, а на ее замыка- нии О определена непрерывная функция /', причем О является образом при отображении р измеримой по Жордану области О', лежащей в пространстве переменных р, В, 22.

При замене переменных в интеграле ~(», у, ») Й» ду Н» 'о по формулам (7), принимая во внимание что — 'Р' = р ялВ получим о(р, г, р) В(з, у, «) д»дуд« = ~~~ у(рзшдсоз(2, ряп Ваш р, р соз В)р япВдрдуду). (8) о о' Иногда вместо системы (7) берут систему » = арзш Всозр(р, у = Ьряп Взгпр(2, » = ср сов В (р > О, О < В ~< т, О < (р < <2«), (9) 5 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 75 где К' = С 1(К), С'(Ф) — матрица Ос/проградского — Якоби отобра»гения С. Определитель матрицы Остроградского — Якоби с' (полной производной отображения О) ° б /г * -(б ''"'б!З» Ы -б(б) ° .",-((), вьа- ы,-ву.й-;„лб, ф --(!)/г ° //(*)б*=)'/(б())ф;,'",* ';,)/бб (2) к к в котором она обычно употребляется.

Если С ) (21, 22) )- (», у) — С -диффеоморфизм пространства И на И, и в плоскости 1 2 2 »Оу задана измеримая по Жордану область Р, а на ее замыкании Р определена непрерывная функция Х, причем Р является образом при отображении с измеримой по Жордану области Р', лежащей в плоскости Г)ОЯ«, то согласно формуле (2) имеем 76 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы которую называют формулами перехода х обобщеиныл1 сферическая коорданагааль В этом случае имеем Р('р,'В",',) = ) = аЬ<аЗр сов 1 Вяпзо 1 В япл 1 Оосгнл ор. (10) В некоторых случаях при вычислении тройных интегралов удобно переходить от декартовых координат х.

у, 2 к цилиндрическим координатам р, оо, х по формулам х = рсов|р, у = рвгпр, 2 = х (р > О, О ( Оо < 2т) или к обобщенным цилиндрическим координатам, полагая х = ар сов 1р, у 4 Урвгп уб х = 2 (р > О, 0 < ~р < 2т), (12) где параметр а выбирается надлежащим образом. В последнем случае иыеем = а5арвгп ясов уь (15) Р(р ) Прн вычислении и-кратного интеграла Римана часто оказывается полезным переход в интеграле от декартовых координат к сфернчесюяг координатам в пространстве К по формулаьг Х1 = Р Ял Р1 ЯП Рз ...

ЯП ОО -1 хл = рсоа рл 1 П вгп Гоп у = 2, ги — 1, =1 х = р совр -1, (р>О, 0<О21<2т, 0«рл < лприу'=2,ги — 1), Якобиан преобразования координат, задаваемого системой (14). имеет вид (14) — 1 Р(х1, хг, ..., х ),о 1 Т'Т =Р Пни Гол. ул(р Ооз, Оо -1) 1=1 (15) Л~ худхИу= 1пп — Э 1'~ 1= 1нп лил о ~ 4ио 4 О<э<1 =1 1=1 О<о<1 2. Составить нияонюю бп(() и верхнюю оп(Д) интегральные суммы для функции Х(х у) = х + у, (х, у) Е Р, Р = (1, 2] х (1, 3], разбивая прямоугольник Р на ячейки прямыми х = 1+ —, у = 1+ — (1, у = 1, и).

Чему равны пределы этих сумм при и со7 и' и 1 2, я Ячейки разбиения П вЂ” прямоугольники, длина сторон которых — и —; поэтому плоп 2 щадь ячейки равна —,. Рассмотрим ячейку — ( , ' 1 + 1 22 г(1 + 1) ] ,11 = (х, у) б И : 1 + — < х < 1 + — , 1 + — ( у ( 1 + и и ' и 1. Вычислить интеграл Д хуНх Ну, рассыатривая его как предел интегральной суммы О< (1 О<о<1 при сеточном разбиении квадрата Р = (О, 1] х (О, 1] на ячейки — квадраты со сторонами, 1 длины которых равны —, выбирая при этом в качестве точек 4, правые вершины ячеек. и я Разбиение области интегрирования на ячейки производится пряьгыми х — -', у = — (1, 1 = 1, и — 1), а значение Функции ((х, у) = ху, (х, у) Е Р в каждой правой вершине ячейки равно '1 (1, у = 1, и).

Вполне очевидно, что Н(П) 0 при и оо. Следовательно, оо 1.ы=~(1+-,1+-), 1 ..=1 ~1+ —,1+ а 221 1 1+1 2(у 01)» » при (х, у) Е УО, в силу чего имеем — 1 -о ~~(У) ЕЕУ '=о о=о ( )= 21'1 40 11 1+-,1+— » .)=3» 3»" ~п(У) = —, ~, 2 1 =о о=о ш (+ 1 2(у'+ 1) 1 40 11 5 1+ —, 1+ / = — + — + —. » / 3 » 3»з' Переходя к пределу, находим 1 1йп 5п(1) = йш Уп(1) = 13 —, В 3. Какой знак имеет интеграл 1 = ) ') агсшв(х + у) 4х йуу о<о<о †л<о<л- м Представим исследуемый интеграл 1 в виде 1= )), ьь»ог» )), „' ( ° )1.»г=г, ° П. око<о о<о<»в о<ой» вЂ” оиойо Вполне очевидно, что 1» > О. Исследуем интеграл 1ы В точках квадрата П = [О, 1] х [ — 1.

О), симметричных относительно его диагонали у = — х, функция 1(х, у) = агсгйп(х+у) принимает значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку, поэтоыу при любом разбиении П множества П на ячейки — квадраты У, — в каждой паре симметричных ячеек, лежащих по обе стороны диагонали, найдутся такие точки (с,. ш), (с„'л,'), что 1(6, ш) + ((4,', Л,') = О. Рассмотрим такое сеточное разбиение П = (У,: 1 = 1, ») на квадраты, чтобы сумма площадей ячеек, объединение которых [) 7» содержит диагональ хвадрата 13, была лгеньше произвольного о > О. Тогда при указанном выше выборе точек (с„ш), (~,', л,') в произвольном выборе точек (С», й») б У» интегральная сумма Яп(1) имеет внд оп у) = ~~' у(сл» 0»)[У»!.

Пусть зпр [У(х, у)[ = ОХ, Тогда справедлива оценка Ое »1ео [Яп(Х)[ < Мо, из которой следует, что 1» = йгл Яп(1) = О. Поэтому 1 > О. щп1-о При решении примера воспользовались тем, что интеграл Римана интегрируемой функции 1 не зависит от способа выбора точек (с„вл) при сеточном разбиении квадрата 12. »» 4. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл / 100 + созз х + созз у '= Б' ~ И~о~<»о 3 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным ту Так как 1(х, у) — квадрат расстояния точки (х, у) от начала координат, то / = ~~ Их у) йх йу = ~~ Ях у) 6х Фу+ 0 /(х у) 1/х 1/у = и О1 О2 о 2 1 = ~ (х / Л, у) у + /( /* ~ 1(*, у) й у.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее