Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 58

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 58 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 58 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 58 - страница

Поэтому Агд у р(Г) изменяется на — — и 2 1 и, следовательно, приобретает значение — — и+ 2йя. Мы видим, что 2 из двух значений -+-13/(Р— 1)(1 — АоР) следует выбрать значение — г'!l(Р— 1)(1 — но!о). Итак, при 1 < х < — имеем: 1 + а е г от от =~('")=,) У'(! — Р)(! — аоР) = 3 У'(! — Р)(! — аР)+ о + о + Ж (' Лг +, ~К+1~ гй (— оа — ж~ ~ гв=тГо — 'юо' 1 о 1 1 Отсюда следует, что когда г=х пробегает отрезок 1 <х < —. а' то точка тв пробегает прямолинейный отрезок, параллельный мнимой оси, от точки К до точки К+!К', где 1 Ж .ь'(Р— И (! — лоР)' 8. отовглжаниа вавднай полгплоскости эллиптическим интагвллом 303 Последний интеграл можно представить в виде„ аналогичном К, посредством подстановки Получим: М ~/ 11 Гз) 11 а~згз) Перейдем от отрезка 1 ( х ( — к отрезку — ( х (+ со; 1 1 л а аргумент подкоренного выражения Стз — 1Н1 — й'Гз) = — йз С вЂ” 1)(Г+ 1) (à — —,) ( +-,) 11 изменится, уменьшившись на и (вместе с Агд(1 — — )), Поэтому для а) у' 11з — 1)11 — йеР) получим значение, имеющее аргумент — 1 у' 1гз — 1)1хзР— 1).

1 Итак, при — (х (+со 1 ат 1 ~'а — зпг — чж 1 аЧ лт +1 уе — Оп — й е " 3'т~ — тя~~~) = К+1К'— лг , )«и — 1)1аз — 1) ' 1 лг Р ~-, "Р" л 1 3 ~/ 1Гз — 1) 1азР-11 ° и возрастает от нуля до величины СО 1 М лч Гз — 1 аГя — 1,1 1 — сз )«)1а ), )«П1 — азз) е ь 304 гл. х. отовглжвния поствдством ьньлитичвоких етнкций ( 1 ! мы произвели замену 1= — !. Поэтому точка те=У(х) описывает ач) ' прямолинейный отрезок, параллельный действительной оси, от точки К+ гК' до точки гК'. Аналогично убеждаемся в том, что когда х описывает отрезки 1 1 от нуля до — 1, от — 1 до — — и от — — до — оо, то точка л л те=у(х) последовательно описывает прямолинейные отрезки от нуля до — К, от — К до — К+)К' и, наконец, от — К+!К' до 1К'. Итак, функция те=) (з) взаимно однозначно отображает действительную ось Г, ни контур Гг прямоугольника с вершинами — К, К, К+г'К' и — К+!К', где ь 1 К= йс К'= ( йс ТС(1 — Сг) (1 — аггг) .! Ус(! Сг) (! акггг) и й' =1 — й'.

Отсюда, по доказанной теореме, следует, что эта функция однолистна в верхней полуплоскости и отображает ее конформно на указанный прямоугольник. Основание прямоугольника есть 2К, а высота К', поэтому йс л(й). К '„У(1 — Сг) (! — а'ггь) йс „у'(1 — р) (1 — вор) Если параметр й (О (и (1) возрастает от нуля до единицы, то 1 йс знаменатель дроби возрастает от 2 ~ . — = я до со; при этом у ! — сь о й' ()г' — ~/1 ьг) убывает от единицы до нуля и, следовательно, я числитель дроби убывает от оо до -г. Таким образом, отношение Кг 27( — =1(я), непрерывно изменяясь, убывает от со до нуля, когда я возрастает от нуля до единицы.

Поэтому для любого прямоугольника с основанием 2а и высотой Ь можно найти одно и только одно значение й (О ( й ( 1), для которого ! йс Ь о г(! го)(1 а Г) К' 2К ' а7 ТС(! — Сг) (1 — аья) 9. понятия оз эллиптической егнкцни якози зпто 306 Следовательно, функция дг ЛвС )Г(1 — Р) (1 — ава) построенная для найденного значения к, конформно отображает верхнюю полуплоскость на прямоугольник, подобный заданному. Если мы хотим получить отображение на заданный прямоугольник, 2а е то достаточно ввести еще множитель 1в = — = —, найдем: 2К Кв ' дг У (1 — Р) (1 — жгв) В результате отображения получим прямоугольник с вершинами — рК = — а, рК = а, )вК+1рК' = а+ И, — рК+ 1рК' — а+И. Итак, посредстеом эллиптического интеграла 1в )l (1 гв) (1 авр) можно отобразить полуплоскость на прямоугольник с произвольными длинами сторон, подбирая соотеетстеуюигие значения параметрое к и р..

9. Понятие об эллиптической функции Якоби зпто. Остановимся здесь на некоторых свойствах функции. обратной по отношению к эллиптическому интегралу г Лг) (0<9<1). у'(1 — гьц1 — авгь) В п. 8 было показано, что те=Де) конформно отображает верхнюю полуплоскость на прямоугольник Ье с вершинами ='-К, -+-К+1К' (черт. 65), причем она является непрерывной в замкнутой верхней полуплоскости и отображает действительную ось взаимно однозначно и непрерывно на контур прямоугольника так, что точки О, 1 -~- 1, -+- †, со, переходят соответственно в точки О, + К, -+-К+ 1К', 1К'.

Отсюда следует, что обратная функция в ее называют эллиптической функцией Якоби и обозначают е = зп(те; я), короче г = зп ш — является однозначной и однолистной в ае, непрерывной (в обобщенном смысле) в ае и отображающей взаимно однозначно и непрерывно контур прямоугольника на действи* тельную ось так, что основание АВ переходит в отрезок [ — 1, + 11, боковые стороны ВС н )9А — в отрезки 11, — ~ и 1 в †, — 1~ 20 Звв. Юе. А И Мврвтшеввв 306 ГЛ.

Х. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Г1 и, наконец, части СЕ и 0Е верхнего основания — в отрезки ~ —, оо~ 11 и ~оо, — — ~. Очевидно, что функцию зп в можно рналитически продолжать через АВ, ВС, ВА, СЕ и 0Е по принципу симметрии Римана — Шварца (п. 5 главы 1Х). Через АВ, например, она продолжается на прямоугольник Ь11А1)1С1В.

По принципу симметрии функция г=зпю будет принимать в этом прямоугольнике значения, принадлежащие нижней полуплоскости. При этом она также в силу Черт. 65. симметрии продолжения будет однолистна в Ь„ боковые стороны ВС, и АО1 будет отображать на отрезки ~1, — ~ и ~ ††, 1~, а С,Е, и ŠΠ— на отрезки ~ †, со~ и асс, — — ~. Заметим, что точка 0 1 1 является нулем функции; это в простой нуль, так как функция однолистна в прямоугольнике Г)1)1С1С.

Аналогичные утверждения справедливы и для аналитического продолжения через боковые стороны ВС или ВА прямоугольника Ьр. Так как в середине Е' верхнего основания этого прямоугольника зла обращается в со, то здесь продолжение можно осуществлять лишь через части верхнего основания СЕ или ЕГ). Легко видеть, что в том и другом случае получим продолжение на один и тот же прямоугольник Ь„ причем результаты продолжения в обоих случаях будут одинаковыми.

Именно если точка тзз~ Ьз симметрична с тее ~ Ь относительно прямой, на которой лежат СЕ и ЕЕ1, то для зп тзз в обоих случаях получим: зп тпз=зп тзе. Итак, продолжение зп тз из Ь через СЕ или ЕВ приводит к функции зп тз, однозначной аналитической в прямоугольнике АВВзАз всюду, кроме точки Е с аффиксом К'1, в которой она обращается в со. Следовательно, К'1 есть полюс функции.

Но зп тз однолистна внутри прямоугольника АВВ,А,, следовательно, в точке К'1 она имеет простой полюс (п. 5). Продолжив нашу функцию на прямоугольники Ь1, Ь„бз и Ь, мы можем, далее, осуществлять ее аналитическое продолжение по тому же принципу симметрии на все новые и новые прямоугольники. Неограниченное повторение этого процесса 9, понятии оз эллиптической эвикции якови зп ш 307 приведет к тому, что функция зп ти окажется продолженной на всю конечную плоскость ш как однозначная и аналитическая функция, не имеющая других особенностей, кроме бесчисленного множества полюсов.

Следовательно, эллиптическая функция г = зп ш есть мероморфная функция. В указанном процессе продолжения вся плоскость покроется сетью равных и одинаково расположенных прямоугольников, попеременно конформно отображаемых посредством г = зп ш на верхнюю или нижнюю полуплоскость. На черт.

66 мы изобра- Черт. 66. вили часть этой сети, заштриховав прямоугольники. отображаемые на верхнюю полуплоскость. Кроме того, мы отметили кружками нули функции зп.тв и крестиками — ее полюсы (расположение тех и других, как было показано выше, немедленно вытекает. по принципу симметрии, из того, что нам известно о значениях апти в Ье). Очевидно, что все нули зп тв содержатся в выражении 2лгК+ 2и~К', а все полюсы — в выражении 2тК+12п+ 1)1К' (лг и н произвольные целые числа); и те и другие имеют кратность 1, т.

е. являются простыми. Покажем, наконец, что функция япта является периодической, а именно она имеет периоды вида 4лгК+ 2и1К', где т и п — любые целые числа. Лостаточно убедиться в том, что периодами являются числа 4К и 21К', так как отсюда уже будет следовать, что и их любые целые кратные, а также и суммы этих кратных также будут периодами. Обратимся к черт. 66; пусть тв — точка одного из прямоугольников. Применим двукратно принцип симметрии, продолжая каждый раз функцию зп ш через правую боковую сторону соответствующего прямоугольника.

Найдем, что яп ти' = зпш и зп тл" = зли, откуда зптв" =яп тв, Но очевидно, что отрезок с концами в точках тв и ш" параллелен действительной оси и по длине вдвое больше основания прямоугольника, поэтому и" = ш+4К. Итак, зп(ш+4К)= = зп ш (при любом ш). Аналогично, применяя двукратно принцип 20ь 308 гл. х. отовгджвния посгвдством лналитичнских етнкций симметрии так, что каждый раз продолжение осуществляется через верхнюю сторону соответствующего прямоугольника, найдем: вп(то+ 2!К') = вп тп. Отметим, что функция л =* вою для действительных значений независимого переменного ш = и встречается в задаче о колебаниях математического маятника.

Эадача эта заключается в изучении колебаний тяжелого шара, подвешенного на тонкой нити, совершаемых в некоторой вертикальной плоскости (черт. 67). Пусть 1 — длина нити,т — масса шара, «вЂ ускорение силы тяжести,  — угол отклонения нити от вертикали в момент времени й Вз — наибольшее значение 0. Сравнивая положение шара в точке А, когда его скорость равна нулю, и в точке А, когда «0 его скорость есть о =! —, находим по теореме «т ' живых снл: глот -ил шд (Е соз 0 — ! соз В,), Черт. 67. «0 откуда, заменяя о его значением ! и интегрируя, получим: «г' а а 1„~/1 ~ « .Г «В 1,/т Г «0 (мы будем отсчитывать Ю от момента, когда В = О).

Произведем замену под 0 Ь знаком интеграла, полеуая з!п — = з!и+т, получим: 2 ГТ1 «т с )/ (! — тз) (1 — з1па "к тз) 2 откуда т = зп (~/ 1; з!и — ), или $1п — = 3!и — зп( ~/ — й з1п — !. Эта формула сводит задачу об изучении колебаний математического маят. ника к задаче об изучении поведения эллиптической функции зн (и1 й) при л = а1п †. Так как действительный период эллиптической функции равен 00 2' 4К = 4 ~ , то период колебаний маятника будет, «т г В ~/ (1 — тз) ~! — з!пз — тз) 2 8ОО 10. интегвлл хвистоэввля — шВАРКА очевидно, 4К: "ь —, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее