Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 57

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 57 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 57 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 57 - страница

Простейший пример, подтверждающий сказанное, дает функция г,=г',, рассматриваемая в верхней полуплоскости. Очевидно, что она отображает границу полуплоскости— действительную ось в взаимно однозначно и взаимно непрерывно (в обобщенном смысле слова) также на действительную ось. Однако *) См., например, А. И. М а р к у ш е а и ч, Теория аналитических функций, гл. \т, $3.

7. понятии о соотввтствии гглниц. оввлтнля твогвмл 297 она не является однолистной в верхней полуплоскости и отображает последнюю не на верхнюю полуплоскость, а на риманову поверхность, которую можно получить из двух экземпляров 0' и 0"' 2 3 верхней полуплоскости и одного экземпляра 0 нижней полуплоскости, склеивая 0' и 0" вдоль отрицательной части действительной оси и О' с О ' †вдо по- з г ложительной части действи- г тельной оси (черт. 62). l у' Обратимся к доказательству теоремы. Мы проведем его, опираясь на принцип аргумента (п.

2, главы ЧП!). лл Так как этот принцип был доказан нами при известных: Черт. 62. ограничениях, то мы введем некоторые упрощающие предположения. Именно предположим, что Г, — спрямляемая кривая и что она (вместе с областью 0,) принадлежит некоторой области О',, в которой У(»,) однозначна и аналитична. Иными словами, мы предполагаем теперь, что Д»,) аналитична не только во внутренности Г„ но и на самой кривой Г,. Пусть ф> — какая либо точка области Оз.

Покажем, что эта точка принадлежит к множеству значений Д»,) в области 0„ причем уравнение'7'(»,) †»~~ = 0 имеет один и только один корень в О,. По принципу аргумента число М корней этого уравнения равно 2в нйг, — Чаг Агам[7(» ) — »зв] в предположении, что», однократно пробегает Г, в положительном направлении. Но, по условию теоремы, »» .7(»,) должна при этом однократно пробегать в некотором направлении всю кривую Г,. Следовательно, вектор /(»,) — »Зч=»,— ф> с началом в точке»<'>, лежащей во внутренности Гм и с концом на Гз должен повернуться на угол -+ 2я, откуда и= 2 чаг Агам[7(»,) — »~м]= 2 чагАгк(»а — »гам)=ч1. 1 0 1 н йг, Я Знак минус, очевидно, исключается (!Ч)~ 0), Поэтому заключаем, что точка», = 7(»,) необходимо должна двигаться по Г, в положительном направлении (относительно внутренности Г,) и уравнение г'(»,) †.»'," = О имеет один корень в. области О,.

Совершенно также убедимся, что для точки»',, лежащей во внешности Г,, уравнение г (»,) — »', = О не имеет ни одного корня в области О, ~ — Чаг Ага Щ»,) — »,'] = 0) нйг, Мы доказали, что множество значений 7(»,) в области О, содержит все точки, лежащие во внутренности Гз, и не содержит ни 298 гл. х. отовглжвния посввдством лналитнчвских эвикций одной точки из внешности Гз. Так как это множество есть область (каждая точка его является внутренней по отношению к нему), то оно совпадает с областью О„ ограниченной кривой Гз. Наконец, каждая точка за~ Оз является значением <(г,), принимаемым лишь в одной точке области О,.

Поэтому яз= <(л<) однолистна в О, и отображает эту область конформно на О,. Мы доказали теорему, менее общую, чем та, которая была сформулирована на стр. 296. Для приложений важен случай, когда О, есть верхняя полуплоскость и функция <(г,) имеет конечное число особых точек на действительной оси, оставаясь непрерывной в О,. Так как этот случай не покрывается только что доказанным, покажем, как убедиться для него в справедливости теоремы. Положим «,<М = оо и пусть ~„ ..., ф' — конечные особые точки функции Дг<) (лежащие на действительной оси), а чз, (ы ..., 1а †обра этих <о< г цлточек (лежащие на Гз).

Для каждого натурального и опишем из точек ч«<< (1 ~(у ~(р), как из центров, полуокружности ТЫ'(и) радиу- 1 сом — и, кроме того, из начала координат, как из центра, полу- окружность Т<м(л) радиусом п. При и достаточно большом (и) <ч') полукруг, ограниченный Т<м(и) и соответствующим интервалом действительной оси, будет содержать все полукруги, ограниченные Т<~'(и) (1 (у'(р) и соответствующими интервалами 3<я(и) действительной оси, причем последние полукруги будут попарно лежать один во внешности другого, Обозначим через О,(п) область, ограниченную всеми этими полуокружностями и соединяющими их интервалами Х<< '(и)'(в=1, 2, ..., р+1) действительной оси (черт.

63), ЮЙ с7 Черт. 63. а через Г,(и) — ее границу<:пусть, наконец, 8, (л) — бесконечный <о> интервал действительной оси, соединяющий точку и с — л через точку оо. Очевидно, что зз = <'(з<) является аналитической в области 0,(п) и на ее границе Г,(п) и отображает Г,(а) на некоторую непрерывную кривую Г,(п) (относительно которой а р<1о<1 ие известно, будет ли она жордановой). Г,(л) получается из Г, посредством некоторых деформаций этой кривой в окрестности точек<з (1 = О, 1, ..., р), и< в именно каждая дуга Ьвп<(л).

являющаяся образом интервала Ь, (п). % 7. ИонвтиВ О соотВвтстВии РРАний. ОБРАтнАЯ твОРвмА 299 заменяется образом 7(г> (и) соответствующей полуокружности (черт. 64). В силу непрерывности функции у(г>) в замкнутой области О, дуги 6(2(>(п) и 7('>(и) должны стягиваться к точке ((2В ((=О 1 ° ° ° Р) йри и-+Со; следовательно, для системы сколь угодно малых окре- яп (В стностей и точек 1~~) можно указать з~>/, > такое № что при и ) )Ч указанные Рл дуги будут лежать попарно в наз- ло наченных окрестностях. Пусть Вз — произвольная точка (о> Г 2 области 62; выберем окрестности и ()) / ( (о> ко точек 62 столь малыми, чтобы го ле- гг жала во внешности каждой из них, 22 и (Ч> )Чо столь большим, чтобы дуги 62 (п) и 72 (и) заключались внутри и, гм (и (() ((=О, ..., р) при п)№ Мы утверждаем, что тогда уравнение /(я,)— (о> (!> (л) — Вз — — О будет иметь один и лг только один корень внутри О>(п).

Черт. 64. Для этого достаточно доказать, что Ча(А(6(~(з>) — яо), когда я( пробегает Г,(и) в положительном на«,сг,(о) правлении, совпадающая, очевидно, с Чаг Агд (л — г(о>), равна 2п, Яяагя (о) Мы и покажем это, установив, что Ча(Ага' ( — г(о>) =На(А(я (з,— г(о>) (и ~ А)). Частя (о) яяатя Действительно, дуги 7(2'>(и) и Ь(,'>(и), которыми отличаются одна от другой кривые Г,(и) и Гз, попарно имеют общие начала и концы. Поэтому ЧагА(д ( — В(о)) может отличаться от ЧагА(д (г — г(о>) 2 2 2 2 224 >2 (яв 22 622 ("> только на целое кратное 2п. Но каждое из этих чисел в отдельности меньше и по абсолютной величине, так как конечная точка вектора ло — Во(> находится внутри круга и((' и его начальная точка— во внешности и('> (черт.

64). Следовательно, ЧагА(я (го — г(2'>) =ЧагА(н (го — я(о)) ((=О, ..., р) 22422 (о) 22422 (о) и) и) На(А(н(В,— «(о>)=ЧагАгд(г — г(о>) 2п, Частя(о> т,Ег, что мы и утверждали. итак, каждое значение Вз ~ 02 принимается функцией 7'(я() (о) В области В> (и) (= б( при всех достаточно больших а и притом ЗОО гл. х. отовгьжвния посгвдством аналитических ьгнкций олнократно.

Беря точку г', во внешности кривой Г„ посредством такого же рассуждения установим, что при и ) № '«а< Ага (г, — г') = «аг А гд (г, — г',) = О, ««~г«<ч> ««Вг« т. е. значение г', не принимается <'(г<) ни в одной точке области 0< (и), а следовательно, не принимается и в области О,. Отсюда и следует, что множество значений функции Дг<) в области О, совпадает с областью О,, причем гг = <"(г<) является однолистной в О,. Мы обнаружили при доказательстве обратной теоремы, что соответствие между кривыми Г,.

и Г, сохраняет порядок обхода кривых — положительное направление переходит в положительное. Подобного рода дополнение можно сделать и к основной (прямой) теореме о соответствии границ, а именно: соответствие границ, устанавливаемое при конформном отображении области О, на область Ог, всегда таково, что точка вг=р(г<) описывает границу области О, в положительном направлении, если г, описывает границу области О, в положительном направлении (т.

е. в направлении, при котором область остается слева от наблюдателя, движущегося вместе с точкой г, вдоль границы, или, выражаясь точнее, в направлении, в котором для произвольной точки г< ~ О, <о> '«<аг Ага (в, — г<ь>) = 2в). «Ег~ Опираясь на факт соответствия границ, можно подчинить функцию гг= <(г<), конформно отображающую О, на О„дополнительным условиям иного типа, чем те, которые были отмечены в и. 6. Так, можно требовать, чтобы при отображении точка г, ~О< пере<«> шл а в точку гг ~ Ог и, кроме того, чтобы граничная точка ч< пере<о> <о> <о> шла в граничную точку 1~ , но при этом ничего нельзя утверждать об АгдУ'(г<ь>). Аналогично можно требовать, чтобы три любые / «' ье «««ч точки 1<, ь<, 1< кривой Г, перешли в три любые точки 1„1г, 1г кривой Гг при единственном ограничении сохранения направления обхода.

Чтобы убедиться в справедливости двух последних утверждений, достаточно рассмотреть случай, когда, например, область О, есть внутренность единичного круга. Если некоторое конформное отображение"О, на О, не будет удовлетворять поставленным усло/ ««ч виям, например образы точек ч<, <,<, ч< на единичной окружности не будут совпадать с назначенными, то останется только произвести надлежащее конформное отображение единичного круга самого на себя, чтобы прийти к нужному результату. 8.

Отображение верхней полуплоскости посредством эллиптического интеграла. В виде примера применения обратной теоремы о соответствии границ исследуем отображение верхней полу- 302 гл. х. отовглжвния посгвдством аналитических етнкций сохраняя действительные значения, возрастает от нуля до 1 Ж )«! — Р) (! — «оР)' На отрезке 1 < х < — подынтегральное выражение приобретает вид 1 а ! тг~Г(Го — !) (! — а Р)' Знак в последнем выражении не может быть выбран произвольно; его следует согласовать с произведенным выше выбором ветви квадратного корня так, чтобы обеспечить непрерывность этой ветви в верхней полуплоскостн. Записывая (1 — Р)(1 — йоР) в виде й (1 — !)(1 — ( — 1)) (г — — ') [1 — ( — — ')~ = р(1), вамечаем, что при переходе от точек отрезка (О, 1) к точкам !1 отрезка (1, — ) вдоль полуокружности с центром в 1, принадлежа' л.) щей верхней полуплоскости, изменение Агре(г)„складывающееся из изменений аргументов отдельных множителей, равно — и (а именно: Агд(1 — 1) уменьшается на и, тогда как аргументы остальных мно-' 1 жителей не изменяются).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее