Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 46

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 46 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 46 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 46 - страница

В частном случае, когда Е есть замкнутая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая вместе со своей внутренностью!(1.) некото- рой области, в которой р(г) является однозначной аналитической функцией. интеграл типа Коши превращается в интеграл Коши. Вернемся к данному интегралу. Очевидно. полюсами функции р(ь) — внутри С являются У (~) ь — г точка ь=г и все полюсы функции г(г), лежащие внутри С. Обо- значим те из этих полюсов, которые отличны от нуля, через р„ ..., р„, а соответствующие нм главные части лорановских разло- жений функции Г(г) — через 0,(г), ..., 0„(г). Положим еще ре=О, считая Ое(г) равной главной части лорановского разложения функ- ции у(г) в окрестности точки г= О, так что функция Ое(г) тож- дественно равна нулю, если г = О есть правильная точка для г(г), и Ое(г) есть рациональная функция с единственным полюсом в начале, если г = О есть полюс функции у(г). Подсчитаем вычеты функции р(ь) относительно точек ь г, ре, ..., р„.

Получим прежде всего: Выч. т(~) = 1(г), 1 а 16ч ! 244 гл. чт. вычвты и их пгиложания, птинцип атггмзнта Итак, 1 ~ У. (С) лг 2гл~ ~ — г — — = У'(г) —,)~~ О„(г), о или ч у (г) = ~~~~ 0а (г) + 2 — 1 ) (! О) Эту формулу можно было бы получить иным путем. А именно заметим, ч что ~~~ Оа(г) — рациональная функция, обращающаяся в нуль з бесконечо :~ ЕОа (~) ности все полюсы ее лежат внутри С, Функция — (г лежит внутри С) Р г.— г обладает теми же свойствами н в бесконечности имеет нуль, по крайней мере, второго порядка.

Поэтому ее вычет относительно бесконечно удален- ной точки равен нулю, н следовательно, ч ~~", Оа (ь) 1!о — ~ — и=о, 2я!,) ~ — г с Далее, заменяя Дь) в окрестности точки ра соответствующим лора- иовским разложением '4-1 А!") у(~) = — "+ + — ~-+ +Ао ~+А! ~(" — ра)+... =Оа(Г)+Ра(ь), где Оа(ь) и Ра(ь) соответственно в главная и правильная части раз- ложения, и замечая, что при )ь — ра(с.!г — ра! 1 1 — в=ы=е=ы 1 ь — Ь (ь-Ра)" 1 г — га (г — (1аР (г р )та находим, что член, содержащий (ь — 'ра) в разложении о(ь) = = у(ь) —, равен ! А1а) 41а) '4-1 1 (г-ра)о " (г ра)та~~-ра= ь — ра Следовательно, Выч.

у(Г) = — Оа(г). с=за 4. твогвмл о вычетах и глзложвние нл пгоствйшив дгози 245 откуда У(С) — ,'~ Ое(С) у с)ас о 2 > Ъ 2* с Но функция у(С) — ~ Оа(С) является аналитической во всех точках внутри С> э поэтому к последнему интегралу применима формуЛа Коши, н мы получаем: у(с) — ~~' Йе(с) >ГС у(л) — ~ Ое (г), Гу(с)лс 1 Г а т. е. формулу (10).

Допустим, что существует последовательность не проходящих через полюсы функции Г(г) замкнутых жордановых спрямляемых кривых (С ), из которых каждая (С ) содержится внутри следующей (С,) и внутренности которых при достаточно большом лг содержат любой заданный круг (г(<)с,' причем для кривых С удовлетворяется условие 1!ш — ~ — '= О. 1 Гу(С) Ж ,„„,2ег3 ( — л = о„ Тогда число полюсов функции Г(г). лежащих внутри С, будет зависеть от т: и= и, и из формулы (10) получим: у(з)= Иш ~~~р Оа(г), (12) 1>ш ~~П~Н < . с (13) В самом деле, обозначая через г„, расстояние от начала координат до С (г -+ со при >л -+ со) и полагая, что л принадлежит кругу (л~ < >с, получим при г ) >с: — — ) < ! ),Г(С)(г)з-+О при т-+со. !.~ .! 1 Гу(с) ж> 1 т.

е. функция Г(г) представляется в виде предела последовательности сумм главных частей ее лорановских разложений, относящихся к полюсам, лежащим внутри С,„. Условие (11) удовлетворяется, например, в случае, когда 4. твогвмл о вычвтлх и глзложвнив нл пгоствйшив дгови 247 Тогда получим: У р и 212яг,[ ~+м" =з.'ю4("' + + "7 =АЙ т-о с то к о где Рь(г) — многочлены степени не выше р: Рь(х) = А1ай+ Ааь'1.+... + АЯ1ЯЯ. Итак, формулу (!б) можно переписать в виде 7'( ) =~~,~Оа (я)+Рь(л)~+ —,', ~ ~~'~ —' ., 2~. о с Заменяя здесь С на С,„ и, следовательно, и на и , получим, используя условие (14), что остаточный член зтой формулы 1 [ У(ь) ли+' — б[ — — „сС 2о~б[ г гя+т стремится к нулю и притом равномерно относительно точек г, принадлежащих любому фиксированному кругу [я[ ( )с.

В самом деле, при ло, настолько большом, что г, ) Я, имеем: ! 1 [,' 7 (С) "" ! 1 [' [У(~н [ ["' И"' Г [ У(б) [ 2Я1б[ С вЂ” л Роз [ 2Я ) [С[ — [а[[ ~[ло1 2я(г,„— 11)б[ [И[Я+' ~и РИ Щ [ [у(л)[ Но в силу условия (14) интегралы " + азы ограничены: с — оЬ(М( со. [У(г)1 [~ [я+о (17) Следовательно, ! ~' [' У(С) 1"' [ М)7Я+' — )' — — ~(1< -б Р 2Ш,[ ~ е Ро' 1 2л(гм — Д) и мы получаем из формулы (18) разложение м У'(г) = 11ш,)~~ [О» (л) + Рь (г)[, о ->со о оь равномерно сходящееся к 7(я) в каждом круге [я[ч, 1т.

Это раз- ложение можно записать в виде ряда СО У(л) = [Оо(.)+ Ро(.)[+ Х ЯО~+, (.)+ Р.„+, (.)[+... ... + [О„,(я)+ Р„(я)Ц, (20) где ио следует положить равным нулю. 248 гл. чш. вычвты и их пгиложвния. пгинцип авгтмвнта Заметим, что первые члены последовательности (19) или ряда (20) обращаются в со в точках ра, ..., р„, т. е. там, где обращается в со функция у(г). Позтому равномерную сходимость ряда (19) нужно понимать как равномерную сходимость того ряда, который получается из данного после отбрасывания нескольких первых членов, имеющих полюсы в круге ~г! ()с. Разложения вида (19) (в частности, (12) или (20)) являются разложениями У(г) на простейшие дроби.

б. Разложение лес г, с1кг, сзс г н 1кг на простейшие дроби. Изложенный нами метод разложения функций в ряды~ принадлежит Коши. Применим его к нескольким частным примерам, имеющим важное значение. а) Разложение зесг. В качестве С„, выберем контуры квадратов с центрами в точке г = О и сторонами, пар™аллельными осям координат и равиымн по длине 2тж На сторонах квадратов, параллельных мнимой оси, имеем г = ~ ши + 1у, н следовательно, 1 1 1 !соз(~~ +!у)! !солгу! ~ну' На сторонах квадратов, параллельных действительной оси, имеем г л щ !тк, и, следовательно (см.

формулы (36) главы ! П), 1 1 ! зес г ! = < —. ! соз (х ~ нии) ! зп /пз Из зтих неравенств получаем для интеграла ~ !вес С!аз оценку о !весь! г(а(2 ! — +4тк —. ну 1 г! сну зй ши -~-со Г ну 4гли Так как интеграл ~ — сходится и — -«О при т-ьсо, то условие (13), сп у зп тли а следовательно, и условие (1!) выполнены. Позтому в денном случае можно пользоваться формулой (12). 1 и Внутри С функция зес г= — г- имеет полюсы вида (2) — 1) —, где соа г 2 ' — ю+ 1 <У (т; все онн являются простыми, так как нули соз г — простые. Очевидно, 1 Выч, вес г= — ., =( — 1)г, (2/ — 1 г=(21-П— и и следовательно, главная часть зес г в окрестности точки г = (21 — 1)— 2 ( — 1)У есть Оу(г)= .

Заметим еще, что г=О не является полюсом г — (2/ — ! )— 2 5. глзложение зесг, с1пг, сзсг и 1дг нл пгоствйшив дтови 249 для зесг, и, следовательно, соответствующую главную часть следует считать равной нулю. Из формулы (12) находим: ( — 1)У зес г !йп р гл ьсо г (22 И ю о йш ~~) ( 1)~ + тг — (27' — 1) 2 у ю.ьгг — (2! — 1) 2 Заменим во второй из сумм под знаком предела У на 1 — й. Получим, что л будет изменяться в пределах от единицы до т, и следовательно, Х ( 1)У ~~ ( 1)'" Фее ьг г — (22 — 1) — а,г+(2А — 1)— 2 2 Поэтому, меняя обозначение й на у, найдем: у= г — (2У вЂ” 1) — у-,г+(2) — 1) ~ 1 ю 11ю ~~)~~ ( — «У "у г гз — (2У вЂ” 1)з ' Мы пришли к разложению вес г в ряд зесг =* ~ ( — 1)г (21' — 1) и яз' г гз (2У 1)а (21) 11 г = ~ зг + — ) я + 1у 2) н, следовательно соз ~ 1 (гл+ — ) а+ ту~ !соз(ху) ~ )гг+г-г~~ ' ! с1й г!— мп ~~ (лг+ 2) и+!у~ Из способа получения этого ряда (частный случай формулы (12) при условии (13)) вытекает, что он раиномерно сходится в каждом круге /г ~ ч, )г (причем, чтобы говорить о сходимости ряда, из него следует исключить несколько первых членов, имеющих полюсы в данном круге).

б) Разложение стяг. В качестве С выберем контуры квадратов с центрами в точке я=О и со сторонами, ™параллельными осям координат и равными по длине (2лг+1) зг.. Тогда на сторонах квадратов, параллельных мнимой оси, 250 гл. чш. вычеты и их пвнложвния. пвинцип авгтмннта На сторонах квадратов, параллельных действительной оси, г = х -1- ! (т+ — ) х, С05 ~Х П" ! (т +, ) х~ 1с!яг) = 5!П ~Х ~ 1(т+ —,) х~ 1+е (тес+с!' 1+5 " се+1 ~( 1 — е сз"с+с!' 1 — е ' е' — 1 Итак, на сторонах к вадратоа Ст модуль 1 с!й г ! удовлетворяет неравенству е'+ 1 с!й г ! ~( Поэтому условие (16), а следовательно, и условие (14) выполняются при р = О, и мы можем пользоваться формулой (19), С05 г Внутри Ст фуикция с!йг = — имеет полюсы О, ~ х, ..., .+ тх, причем 5!и г все они являются простыми, так как все нули 5!и г суть простые.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее