Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 23

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 23 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 23 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 23 - страница

Нь ЭлементАРные ФУнкции и конФОРмные ОтОБРАжениЯ где Агяьг есть значение аргумента, удовлетворяющее условию по+ 2)ое < Агдьг < оо+(2А+2)я. (Это условие как раз и означает, что значения Ьпьг принадлежат полосе ею) Так как функция ш = Ьпвг осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение области О на полосу ло и функцией, ей обратной, является г = е", обладающая отличной от нуля производной во всех точках области ль, то по правилу дифференцирования обратных функций Ьпьг также Обладает производной, вычисляемой по формуле 1 1 1 (Ьпл х)' = (ем)' ее г ' Точками разветвления функции Ьпг являются нуль и бесконечность. В самом деле, когда х однократно описывает какую-нибудь окружность с центром в начале координат (сколь угодно малого или сколь угодно большого радиуса), значение Агяг, непрерывно изменяясь, отправляясь от какого-либо начального значения Агдь го, получает по возвращении в исходную точку приращение ='- 2е (в зависимости от направления обхода окружности), н, следовательно, ветвь Ьпь г 1п 1г 1+ 1 Агав г переходит в другую ветвь Ьпь а ~ х = 1и ~ г )+ 1 (Агяь г ~ 2я) 1и ~ г (+ 1 Агав г 1 х.

Очевидно, описывая окружность сколько угодно раз в одном и том же (например, в положительном) направлении, мы каждый раз будем получать новые ветви Ь" в+г х ЬпзФз х Ьпьэз г и, следовательно, никогда не вернемся к исходной ветви Ьпвг. По этой причине точки разветвления 0 или со называются здесь точками разветвления бесконечного порядка, или логарифмическими точками разветвления. Области более общего типа, чем О, в которых возможно выделение однозначных ветвей Ьпг, получатся, например, если в плоскости г провести какую-нибудь жорданову кривую Г', соединяющую точку г = 0 с точкой г = со. Образами этой кривой в плоскости те при отображении гв = Ьп г будут жордановы кривые ть(й = О, =+ 1, ч 2, ...), разбивающие плоскостыв на бесконечное множество криволинейных полос дь' с границами, составленными из пар кривых Т„ и Тз+, ...

В области 6', гРаницей котоРой ЯвлЯетсЯ кРиваЯ Г', мы полУчим счетное множество однозначных ветвей 1.пг; (Ьпг)ы каждая из которых отображает О' взаимно однозначно на соответствующую область Р„'. 20. овщиВ ствпвннАя и покАВАТВльмАИ Функции 11$ Любую из функций (Ьп г)л можно получить из любой другой функции (Ьп г)ш путем прибавления соответствующего целого кратного от 2ВЬ Для производной от (Ьпл)А имеем прежнюю формулу (Ь"),=-,.

! Независимость последнего результата от выбора ветви Ьпл позволяет писать вообще: (Ьпг) = —, 1 понимая левую часть как производную от произвольной однозначной ветви Ьпг, выделенной в области, заключающей данную точку я. 20. Общие степенная и показательная функции.

В этом пункте мы рассмотрим общую степенную и общую показательную функции, а также логарифм при произвольном основании. Предварительно мы должны выяснить понятие степени с произвольным показателем. Пусть а †произвольн отличное от нуля число, Если л — число целое, то, как мы знаем, аеа определяется соотношением а" = [а [" [сов (л Агя а) +» 61п (и Арка)[.

Если г — произвольное рациональное число, равное †, где д †чис Р т я натуральное и дробь — несократима, то а я имеет а» различных зна- Р л чений, получаемых из формулы (см. п. 2 главы 1) я ач =[а ~6 ~соз(» Агда)+»з[п(Р— Агйа)~~. Эта формула охватывает и случай целого показателя. Пусть теперь р †действительн иррациональное число. фиксируем произвольное значение р = Агяа и рассмотрим последовательность рациональных чисел г„, сходящихся к р. Последовательность определенных значений а'" [ а [',в [сов (г„А гя а) + ю' 6|и (г„А гя а) [, очевидно, сходится к определенному пределу [ а [»а.

[соз (р А гя а) +» ейп (р Агя а)[, который мы и примем за одно из значений а'. Чтобы получить все значения степени аг с иррациональным показателем р, будем прида- вать Агя а в полученном выражении все возможные значения. Я Зев !636. А Н Марвушевве 114 Гл. 1и. ЭлементАРные Функции и конФОРмные ОТОБРАжеиия Так как два различных значения р Агфа различаются на число вида 2дрк, которое не может быть целым кратным от 2е (А — целое число, не равное нулю, и р — иррациональное число), то все значения а, соответствующие различным Ага а, различны между собой.

г Итак, мы определили степень а«для случая, когда а есть произвольное действительное число. Все значения степени ааключаются в формуле а" = [ а [" [соз (а Ага а)+ 1 з[п (а Ага а)[. (54) А[ы получаем одно значение степени в случае, когда а есть целое число, несколько, а именно д, различных значений в случае, когда а есть рациональное число, представимое несократимой дробью — , Р 4 и, наконец, бесконечное (счетное) множество различных значений в случае, когда а †иррациональн число. Для того чтобы определить понятие степени а" в случае любого комплексного показателя а, заметим, что формула (54) может быть представлена в виде а" е"" [л [[соз (а Ага а) + Г з[п (а Ага а)[ = ехр (а 1и [ а [+ га А гд а) = ехр (а [ и а).

Правая часть этой формулы имеет смысл не только при а действительном, но и при любом комплексном а. В соответствии с этим положим. Ео определению, для любого комплексного а: а" = ехр(а1п а). (55) Очевидно, при а мнимом все значения а", соответствующие различным значениям 1п а, или, что то же самое, соответствующие различным значениям Агда, также различны между собой. Действительно, два различных значения а|па различаются на число вида Эе[а, которое при а мнимом не может быть целый кратным от 2ЕА Заметим, что степень с произвольным показателем, вообще говоря, иа подчиняется ни правилу сложения показателей при умножении степеней, ни правилу умножения показателей при возведении степени в степень.

Именно, если ни для какого целого А число а,(1 — А) — азл нв является целым, то а" ° а"« = ехр(а, 1п а) ехр(а, [.па) = ехр(а, 1.па+а,1.па) 4 ~ ехр [(а,+а ) 1.па[ = ае""ч аналогично, если ни для какого целого й число [« — Й ар не является целым, то (а«)а [вхр (а Ьа а)[з = ехр [р (и 1л а+- 2ВМ)! чь чь ехр(ра 1п а) а«з.

110 20. овщив ствпвннля и показлтвльная егнкции Поясним примерами определение степени: П 1~ = ехр ()г2 (и 1) = ехр (2йигрг2) = соз (2йя у' 2 ) + 1а1п (2лк уг2 ) (а =О, Ы, ~2,...); 2) ет = ехр(л1 и е) = ехр [л(1+ 2ли0) ехрлехр(2йигг) (Д = О, -'г- 1, ж 2,...). Отсюда видно, чго лишь одно из значений степени еа совпадает с ехр д Другие значения суть ехрлехр2впв ехрлехр( — 2ягг) и т. д. В частности, лишь одно из значений ее(х — действительное число) совпадает с действн.

тельным положительным числом ехр х. Другие значения таковы: ехр х ехр 2лгл, ехрхехр( — 2вгл),... Их будет конечное число прил рациональном и беско. печное множество различных значений при х иррациональном. Тем не менее мы в нашем курсе пользуемся привычным нз курса анализа пониманием символа еа как совпадающего с ехр». Такое употребление многозначного символа вполне аналогично обычному в анализе пониманию сим.

вола у а (а †, действительное положительное число) как единственного положительного (гарифметическогоа) значения радикала. гв тт . Г из Гал-П- 3) Ф ехр(11 и 1) =ехр ! (-1 — 2Ж)(=ехр~(4Ф вЂ” 1) — 1 е (й = О, ~: 1, + 2, ...). Таиим образом, все значения степени б суть действительные положительные числа, среди которых имеются и сколь угодно большие и сколь угодно малые. Опираясь на определение степени, можно рассматривать следующие две многозначные функции: г' и аа. Первая из них — степень с произвольным показателем — определена вообще только при г чь О.

Если а есть действительное целое число, то л" представляет рациональную функцию частного вида. Она определена тогда и при х О, где имеет нуль (если и ) 0) или полюс (йсли а ч. 0). В случае, когда а †действительн рациональное нецелое число: а = †(1) †на- Р туральное число и дробь Р несократима), г" может быть представлена '7 в виде Это — многозначная, а именно д-значная функция. Для нее точки л = 0 и г = со служат точками разветвления порядка г) — 1. В любой области О, полученной из расширенной плоскости путем проведения жордановой кривой, соединяющей точки разветвления, можно выделить д различных однозначных дифференцируемых ветвей функции.

Эти ветви непрерывно переходят одна в другую при обходе й» 116 Гл. н!. БлементАРные ФУнкции и конФОРмные ОтОБРАжениЯ точкой г кривых, окружающих начало координат (или бесконечно удаленную точку). Если, наконец, а не есть действительное рациональное число (т. е. а †действительн иррациональное или произвольное мнимое число), то функция г" бесконечнозначна. Все ее значения заключены в формуле г" = ехр (а Ьп г). Для нее также точки г = 0 и г= ОО являются точками разветвления. Но теперь это точки разветвления бесконечного порядка. В самом деле, прн однократном обходе точки г = О, например в положительном направлении, значение Агав, непрерывно изменяясь, увеличивается на 2л, поэтому значение а Ьп г изменяется на 2лга, а значение функции г" приобретает множитель ехр(2л!а) ~ 1. Обратимся к общей показательной функции а'(а+0). Она определена при любом конечном значении г формулой а' = ехр (г Ьп а).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее