Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 62

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 62 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 62 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 62 - страница

Отсюда следует, что функция (б) ~(г) =1. (2)+).. (г)+ ~,~(,~) в самом деле решает смешанную краевую задачу (наличие последнего члена ничего не меняет, ибо )(со) — действительное число, а д(г) на отрезках (аьлЬА) принимает мнимые значения, а на отрезках (Ьм а„+,) — действительные). Из построения функций ),(2) и 1„„(г) следует, что при г- ео они стремятся к нулю; функция д(г) при атом стремится к 1, следовательно, условие на бесконечности также выполняется. Из вывода формулы (6) следует также, что она дает единственное решение смешанной задачи, удовлетворяющее условиям 1) — 3).

Теорема доказана. Покажем теперь, что если отказаться от условия ограничен- насти )(2) в точках аь и требовать в них лишь ограниченности интеграла ~1(г) дг (как и в точках ЬА), то при заданном значении Цоо) решение задачи будет содержать л произвольных 4 3. интеГРАл типА коши и кРАеные зАддчи м) 309 !госгояииых. В самом деле, при любых действительных постоян- ных уе, уь ..., уп ! действительная часть функции у,+у,а+ ...

+т„р" ' й (г)— я П (а — од) (а — Ь ) д=! (11) равна нулю иа всех отрезках (аюЬА), а ее мнимая часть равна нулю на всех отрезках (Ьд,аде,). При г- оо эта функция, очевидно, стремится к нулю. Таким образом, мы можем добавить эту функцию к функции ((г), определяемой формулой (6), и полученная сумма будет давать аналитическую в верхней полу- плоскости функцию с ограниченным интегралом в окрестности точек ад и Ьд, принимающую в бесконечности заданное действительное значение ~(оо) и решающую смешанную краевую задачу. Вводя обозначение и(!) на отрезках (ад, Ь,), р(!) = (о(!) на отрезках (6„, а е!) (12) где дг(г) и Й(г) определяются формулами (1) и (11).

Можно доказать, что формула (!3) содержит все решения задачи, удовлетворяющие поставленным условиям (см. Му с х ел и ш в и ч и (14)) . В следующем параграфе мы будем применять Формулу Келдыша — бедова, преобразованную к случаю, когда вместо верхней полуплоскости рассматривается круг ~а — — ( ( †. Для выполнения такого преобразования 2( 2' л1ы воспользуемся дробно-линейным отображением !г~ 1 — а, (14). 1 ! круга ~ а, — — ~< — на верхнюю полуплоскость а.

Подставляя (14) в фор- 2 ~ 2 мулу (!3), где для простоты положено Д(з) = !(ео) = О, и заменяя г, снова через а, а Г! через Ь, получаем: 1 ( 2(~)<р(Ц 1 — г я(В(г) ) й — 1 — й с (13), (й = 1,2,...,И), мы можем записать ф ор мулу Келдыш ав Седова в виде ! (г) = . „ Г(! + Ь (г) + , (!3) я!и (2) и (а) ГЛ. И1, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ и ИХ ИРИЛОЖЕИИЯ З(О 11 ! где С вЂ” окружность | ь — — ~ — ~р (ь) — заданная на окружности функция, 2~ 2' равная и(с) на (а», ь») и !о(ь] на (ь», о»+!1, а у(а) определяется по формуле (1) (точки и» и Ь» лежат на С).

Совершенно аналогично формула (13) преобразуется и к случаю единичного круга [г[ ( 1. В этом случае она имеет ввд 1 (2), ~ у (ь) ю (ь) ( — — — ) па + 1С1 ! г » ]у П !,, ',', 1~»ы*'-'»-,. »..» ч»| где с» — комплексные постоянные, удовлетворяюшие условию с„» = Е». Вывод формулы (16) читатель может найти в книге Н.

И. ]»(ускелнш в и л и [14]. 55. Другие краевые задачи. Здесь мы рассмотрим еще несколько краевых задач теории аналитических и гармонических функций. 1) Краевая задача Римана — Гильберта формулируется следующим образом. Найти аналитическую в области Р и непрерывную в Р функцию [(г) = и(г)+ т(е), удовлетворяющую на еранице С области условию а (ь) и (ь) — Ь (ь) о (ь) = с (ь), (1) где а, Ь, с — заданные на С действительные функции. Мы приведем решение задачи Римана — Гильберта, данное Н.

И. Мусхелншвили. Если Р— односвязная область, то с помощью конформного отображения задача сводится к случаю, когда Р есть единичный круг [г[( 1. Этот случай мы и рассмотрим, предполагая, кроме того, что функции а, Ь, с удовлетворяют условию Гельдера, и что и'+ Ьв Ф 0 всюду на С. Краевое условие (1) мы перепишем в виде 2 [(е(а+ »Ь)! (ь) =(а+ »Ь)!'(и) +(а — »Ь)[(ь)=2с.

(2) Положим во внешности единичного круга (3) и обозначим через Р(г) — функцию, равную ((г) в круге [г).с, (1 и („(г) вне его. Предельное значение Р(г) на С слева Р+(г)=!(ь), а предельное значение справа Р-(ь)=((ь) (последнее вытекает нз определения (3) и того, что 1/ь = ь" на С), 4 а.

иггткгядл тнпд коши н крдввыв задачи 55) зы Поэтому условие (2) можно переписать в виде (а+ сЬ) Р+(ь)+(а — гЬ) Р (г,) =2с, пли (4) Р (ь) =А(г,)Р+(ь)+ В(~), (5) где А (ь) = — —., В(ь) = — —. и+ гь 2с — (Р(г) + Р (2)), которая, очевидно, удовлетворяет и условию (3). Внутри единичного круга эта функция будет, следовательно, решать граничную задачу Римана — Гильберта. 2) Задача наклонной производной формулируется следующим образом. Найти гармоническую в области х) и непрерывную вместе со своими частны,ми производными первого порядка в 6 функцию и(г), удовлетворяющую на границе С этой области усло- вию а ((.) — + Ь К) — — с (~), (7) где а, Ь, с — заданньге на С действительные функции. Название задачи объясняется тем, что условие (7) можно переписать в виде дп сЯ) (7 ) д( )' и' + Ь' *) В салым деле, на С нчеем Е,(ч) = г(ч), н прп прнблнженнк а к С слева г/а приближается к нса справа.

Следовательно, переходя в соотпошеннн (4) к комплексно сопряженным велнчннам, мы полуяич такое же условие для р„(~), Таким образом, решение задачи Римана — Гильберта сводится к решению задачи Гильберта — Привалова п. 53. Однако не любое решение Р(г) задачи (5) будет давать решение задачи (2), ибо условие (3), связывающее значения Р(г) в симметричных относительно окружности точках, вообще говоря, не выполняется. Тем не менее, имея произвольное решение Р(г), легко построить решение, удовлетворяющее этому условию.

Для этого наряду с Р(г) рассмотрим функцию Р,(г) =Р ( —,) и заметим, что на С она также удовлетворяет условию (4)'), а следовательно, и (5). Но тогда тому же условию будет удовлетворять и функция ГЛ. П1 КРАЕВЫЕ Залаин И ПХ ПРИЛОЖШ!ПЯ '312 дн где — обозначает производную в направлении вектора 1 = д! = а+ сЬ, наклоненного по отношению к С под некоторым углом. В предположениях, которые были введены в предыдущей задаче, задача наклонной производной сводится к ней. В самом деле, обозначпм через 1(г) = и+ со функцию, имеющую и 'ди . дн своей действительной частью, и положим с'(г) = — — с — = = дх ау = и, + сос. Условие (7) переписывается теперь в виде а (ч) и, (ч) — Ь (ч) о, (с".) = с (~) — — — =ср(х) на (а, Ь), ди ди дх ду и = ср (с.) на у. (8) ! сд д! д Очевидно, —.

[ — — ] = — означает дифференцирова- 1'2 [,дх ду дС ние в направлении 1, составляющем угол — и/4 с осью х. Для решения этой задачи воспользуемся конформным отображением г =1(г,) области 0 на сектор О < агцг, ( 4, переводящим дугу у в луч у*: агаг! =О, отрезок (а, Ь) — в луч агиг! =— и точки а и Ь вЂ” в оо и О.

При нашем отображении направление, в котором задается производная на у, переходит в направление отрицательной осн х (рис. !25). Поэтому для гармонической функции и [) (гс)] = и, (г,), *) См. М. А. Лаврентьев и А. В. Бииадве, К ироблене уравнений емеснанното тина, ДАН СССР,!950, т. ХХ, № 3. и совпадает с условием (1). Таким образом, Т'(г) можно найти методом, описанным в 1), а 1(г) найдется простым интегрированием. 3) В некоторых вопросах, например при изучении дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа (об этих уравнениях мы будем говорить в следующем параграфе), встречается следующий вариант задачи наклонной производной *): Пусть область 0 ограничена отрезком (а, Ь) действительной оси и некоторой линией у с концами в точках а и Ь, и пусть на (а,Ь) и у заданьс действительньсе непрерывные функции ср(х) и ф(~).

Требуется построить гармоническую в области 0 функцию и(г) такую, что 4 т. иптгГРАЛ типА ко!и! и крдввь!г злдлчи З(З в которую преобразуется искомая функция и(г), первое из условий (8) перепишется в виде — — ',- рис,и та,)1. (9) Второе условие перейдет в соотношение иг(х,) = ф(1(х!)], которое после дифференцирования по х! принимает вид ф=ф ~ — „"; ~=ф И Я (Г(,) 1, (10) где — =ф означает производную вдоль контура у. Так как дф дз правые части условий (9) и (10) — известные функции, то наша задача сводится к отысканию гармонической дп, функции — по ее значе- Ф дх! ниям на границе сектора и л 0 < агах! < 4, т.

е. к за- и,, ' з) даче Дирихле. а/ х/ Аналогичным методом можРис. 125. но решить и более общую задачу. Пусть на части С, гран!шы С односвязной области Р заданы действительные непрерывные функции гр(Ь), н(Ь) и Ь(Ь), причем и'+Ь'Ф О, а на остальной части Ст этой границы — такая же функция ф(Ь). Требуется построить гармоническую в области Р функцию и(х), удовлетворяющую на гравице условию ди дн п (ь) — + Ь (ь) — = !р (ь) па Сь и = ф (ь) на С,.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее