Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 51

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 51 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 51 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 51 - страница

Через комплексный потенциал выражается вектор напряженности до . д44 Е = — — — 1 — = 11" (г), дх дх (20) а следовательно, и все величины, характеризующие поле. В ча- стности, суммарный заряд, расположенный внутри замкнутого контура С, равен 4 .4~ () (', с (21) Мы видим, таким образом, что и электростатическое поле вполне аналогично полю скоростей течения жидкости — разница между этими полями (не считая несущественного различия в формулах) состоит, лишь в том, что в первом случае обе компоненты комплексного потенциала могут быть многозначнымн, а во втором действительная часть всегда однозначна.

Приведем простой пример. Рассмотрим плоское поле точечного заряда величины е, расположенного в начале координат г = О. В пространстве ему соответствует поле бесконечной прямой Е, перпендикулярной плоскости г в точке г = О и несущей заряд постоянной линейной плотности е (рис. 112). Подсчитаем напряженность поля Е = Е, + 1Е, в точке г = х+ гу, т. е. силу, действующую на единичный заряд, помещенный в этой точке. Для этого введем па Е координату й — длину, отсчитываемую *) А4ы ввоани комплексный потеиииал так, как зто принято н злектротехиипеской литератзре. Ои, о !авиано, отличается ииогкитслеи 4 от принятого в ! идроавнаиике.

% а постАНОВкА кРАеВых 3АЛАч 253 от точки г= О, и заметим, что элементарная напряженность, создаваемая зарядом едй, расположенным на высоте Ь, равна по величине (дЕ)=е,,+А,, где г =~ г ~= )Гх'+ у'.Так как вектор Е лежит в плоскости г, то его величина равна сумме проекций на эту плоскость всех элементарных напряженностей дЕ, т. е.

ка !Е~= ) соз1~ дЕ!=е ),+А, дп=е ~ —,д( = —, где 1 — угол между дЕ и плоскостью г, и = г1п1, дй = гщ «2+ А« с(1 (рис. 112). Таким образом, в плоском поле точеч- ного заряда величина напряженности обратно пропорг4иональна расстоянию между точками, а не квадрату расстояния, как в пространственном поле. Учитывая направление вектора Е, получим: Е = — гс = —.

(22) г « Отсюда видно, что наше парис. Ы2. ле полностью совпадает с плоским полем точечного источника интенсивности йг = 4че (ср. пример 1 предыдущего пункта; заметим, что формулу (22) можно было бы вывести точно так же, как в этом примере). Комплексный потенциал поля находим по формуле (20): 1 (г) = — 1 ) Е дг + с = 2е( 1.п — + с. «« (23) 4) Магнитное поле токов. Мы ограничимся случаем поля системы линейных токов 1А. По извсстному закону электротехники вектор И напряженности прямолинейного тока 1 на расстоянии г от него по величине равен 21/г, лежит в плоскости, перпендикулярной току, и направлен по нормали к кратчайшему отрезку, соединяющему точку поля с линией тока, в сторону, определяемую правилом буравчика.

Следовательно, в соответствутощем плоском поле этот вектор равен Н=Ф (24) 254 Из ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Под комплексным потенциалом такого поля понимается функ- ЦРЪЯ Р (г) = У -1-1(г = 271п г + с, (25) где У вЂ” силовая функция поля, Р— потенциал и с — произвольная постоянная. Для системы токов 78 (й = 1,2,..., п), пересекающих плоскость г в точках гм вектор напряженности и комплексный потенциал получаются сложением выражений (24) и (25) и соответственно равны н=У вЂ” ' 21,! ~ г — г А=! Р (г) = ~4 278 1п (г — гь) + с. (26) Из сравнения формул (23) н (25) можно заключить, что сетка из силовых линий и линий равного потенциала электрического поля линейных зарядов, псресекакицпх плоскость г в точках г,, полностью совпадает с такой же сеткой магнитного поля линейных токов, пересекающих плоскость в тех же точках.

При этом лишь меняются роЛЯМ44 СИЛОВЫЕ ЛИНИИ И ЛИПИП равного потенциала. В качестве примера приведем магнитное поле системы двух одинаково направленных и равных по величине линейных токов, пересекающих плоскость г в точках ~ а. Комплексный потенциал поли равен г" (г) =7(п(г' — а'), (27) силовые линии определщотся уравнением 1г — а11г+ а1= сопя(, (28) Рис, ! 13. т. е, представляют собой так называемые лемнпскаты (лемпискатой называется геометрическое нес~о точек, произведение расстояний которых до двух точек, фокусов, постоянно, рнс. 113). 48.

Краевые задачи. В предыдущих пунктах мы видели, что для изучения плоского поля достаточно знать его комплексный потенциал. Прикладные задачи обычно сводятся к определению комплексного потенциала по заданным условиям на границах полн (они диктуются самими физическими условиями данной зц З е постлновкк кглевых зкдхч 255 Из формулы (23) п. 46 следует тогда, что с ~ 2п1 = Г+ И', где Г и йг — циркуляция и поток вдоль любого замкнутого контура, охватывающего С.

Но так как поток обтекает С и в области В нет источников, то й' = 0 и, интегрируя (1), мы получаем следующее разложение комплексного потенциала в окрестности бесконечно удаленной точки: =) (~) = ~ ~ + + — „, 1п (2) где с — произвольная постощшая. Величина циркуляции Г должна быть задана — в этом состоит первое граничное условие задачи полного обтекания. Физический смысл этого условия мы выясним ниже (см. п. 49, примеры 2) и 3)). Второе граничное условие относится к контуру С; в силу условия обтекания в любой точке контура С скорость потока должна быть направлена по касательной к С. Иными словами, контур С должен быть одной из линий тока, т. е.

на контуре С должно выполняться условие и (х, у) = сопз1. (3) Докажем единственность решения задачи нри заданной скорости в бесконечности )г и заданной циркуляции Г, Пусть задачи) или, как говорят, к решению заданной краевой, или граничной задачи. При этом, если задача физически правильно поставлена, то заданные условия должны полностью опредслять поле, т. е. комплексный потенциал поля должен определяться с точностью до постоянного слагаемого. Мы приведем здесь простейшие постановки краевых задач теории плоского поля, причем для определенности будем пользоваться гидродинамической терминологией.

В примерах решсния этих задач мы будем рассматривать и другие интерпретации. Начнем с трех задач на обтекание. 1) П о т о к в о в н е ш н о с т и з а м к н у т о й к р и в о й. Мы предполагаем, что область поля 0 содержит внутри бесконечно удаленную точку и ограничена одним контуром С вЂ” границей тела, погруженного в жидкость (Π— внешность контура С). Пусть тело поступательно движется с постоянной скоростью — У, или, что то же самое, тело покоится и на него набегает поток со скоростью У . Тогда производная комплексного потенциала — функция, комплексно сопряженная скорости потока (см. формулу (3) предыдущего пункта), — должна быть правильной в бесконечности, однозначной в области 0 аналитической функцией.

Ее лорановское разложени: в окрестности бесконечно удаленной точки имеет, следовательно, вид ГЛ, И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !48 /г(г) и /,(г) — комплексные потенциалы, соответствующие двум решениям задачи, и )(г) =1! (г) — /8(г). Функция 1(г), очевидно, однозначна и аналитична всюду в О, включая бесконечно удаленную точку. Ее мнимая часть о(г) постоянна на С и гармонична всюду в 0 (включая бесконечно удаленную точку). По теореме единственности решения задачи Дирихле должно быть о(г) = — сопз( и, следовательно, /(г) = сопз1.

Таким образом, наши комплексные потенциалы отличаются лишь постоянным слагаемым, что не влияет на распределение скоростей. Отметим, что в случае бесциркуляционного обтекания, когди Г = О, комплексный потенциал ш = / (г) реализует взаимно-однозначное отображение области 0 на внешность некоторого отрезка, параллельного оси и. В самом деле, из разложения /(г) в окрестности бесконечности ю =!(г) =-у г+ с — с ! — ... видно, что главный член разложения имеет вид У„г, следовательно, функция ш =/(г) реализует взаимно-однозначное отображение окрестностей бесконечно удаленных точек плоскостей г и ш (это следует также из того, что существует /'(ьь)= = У„чь 0). Так как /(г) имеет в области Р один полюс первого порядка (в бесконечности), то по принципу аргумента (п. 23) для достаточно больших а имеем; 1 — п(а)= —, ) ' =О, Г Р(,1,!.

2пю,) / (г) — а с где п(а) — число а-точек /(г) в области 0 и кривая С проходится против часовой стрелки. Но п(а) — целочисленная и непрерывная функция точки а, следовательно, она постоянна и 1 — п(а) = О для всех значений а, которые не принимаются функцией /(г) па контуре С. Таким образом, /(г) в области 0 принимает и притом только один раз любое значение, которое она не принимает на контуре С, а этот контур, как видно нз граничного условия (3), она переводит в отрезок, параллельный оси и. Утверждение доказано. Задача распространяется на случай обтекания системы контуров (полипланы).

В этом случае, кроме скорости а беско. нечности, следует задать значения циркуляций прн обходе каждого контура. 2) Поток в криволинейной полосе. Пусть даны две линии Сь и Сг, имеющие общими лишь свои концы, расположенные в точке г = со, и пусть 0 — область, заключенная между этими кривыми. В области 0 требуется построить без. вихревой поток, обтекающий Сь и С! и имеющий заданный рас- э 2. ПОСТА!!ОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 257 ход Лг, т. е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее