Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 49

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 49 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 49 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 49 - страница

7 Рис. !05. Рис. 104. 2) В и х р ь. Совершенно такими же соображениями получим, что вектор поля точечного вихря, расположенного в начале координат, равен А= — — ', (29) где постоянная à — интенсивность вихря, т. е. циркуляция вектора А по любому замкнутому контуру, окружающему вихрь (рис.

)05), Комплекснь>й потенциал отличается от предыдущего ГЛ. ПЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 242 множителем 1, потенциальная функция и функция тока меняются местами: 1(е) = —. 1.п е + с; и — — — Ага г + сп о = — — 1П! г !+ с,. (30) г г г 2сл 2п 2п 3) В и х р е и с т о ч н и к. Предположим, что в начале координат сосредоточены источник интенсивности йг н вихрь интенсивности 1". Вектор поля и комплексный потенциал получаются сложением выражений (28) и (29) и, соответственно (27) и (30): л'+ г 1 ) (3П )()= 2' 1п + .' '! Линии тока и линии равпого потенциала в полярных координатах г = гена представляются соответственно уравнениями Г 1П г — %р = с„1 Аг!пг+ Г~а=с,.

) (32) Это — ортогональные семейРпс. !06. ства логарифмических спи- ралей (рис. !06). 4) Д и п о л ь. Рассмотрим систему источника и стока интенсивностей ~-М, расположенных соответственно в точках е, = = — Ь, гз = 0 (рис. 107). Комплексный потенциал этой системы найдется сложением потенциалов источника и стока )„( ) = — '1ш( + 6) — — 1л ч У (33) (мы воспользовались формулой (27) и ее очевидным обобщением на случай, когда источник расположен не в начале координат; постоянное слагаемое мы не учитываем). Рассмотрим теперь предельное образование„ которое получается из нашей системы, когда й - 0 и одновременно У - пп так, что УЬ - р, — оно называется точечныяа диполеги с моментом р (рис. 108).

Комплексный потенциал поля точечного диполя находится предельным переходом в формуле (33) при Ь- 0: мь ьп (с+ ь! — 1.п с р и 1 р (34) л.+с 2п 6 2л и'с 2пс 5 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 243 На рис. 108 изображены линии тока и линии равного потенциала — это прообразы линей 1птв = с1 и зсе в = сз при отображении ю= —, т. е. окружности, касающиеся координатных Р 2па осей. Рис. 108. Рис. 107. 5) Простой слой.

Предположим, что источники расположены на некоторой линии С с линейной плотностью р(9) '). Обозначая г =)и — а(, по формуле (28) получим потенциал от элементарного источника р(;)ав, расположенного в точке Э, в виде 2п )пгс)з. Интегрируя, получим потенциал простого слоя и (г) = — ~ р (9) 1п г с)з.

(35) с б) Д в о й и о й с л о й. Предположим, что наряду с линией С, несущей источники с плотностью р(",), имеется линия С', кото- рая получается пз С, если на всех норма- лях к ней в определенную сторону отло- жить малые отрезки постоянной длины й,, ь и' + 7 Пусть плотность распределения источников С„ - р иа С' такова, что на ее элементе длины с)з' расположен источник величины р'сЬ' = = — р с(э (правая и левая части берутся в соответствующих точках 9 и 9', см. рис. Рис.

109. 109). Предельное образование, которое получается из нашей системы при й-+О и р(') — оо так, что )тр(9)- р('), называется двойным слоеги с плотностью момен- тов р, ') Этому полю в пространстве соответствует поле цилиндра с направляющей С и образующими, перпенликулярнынй плоскости - Цилиндр песет источники, поверхностная плотность которых постоянна на каждой образующей, Аналотнчно и в примере 6). ГЛ. П!, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 146 Найдем потенциал двойного слоя, При фиксированном йФО по формуле (35) находим: и„(г) = — " р !п г 4(з + — " р' 1и г' 4(з', 2и,) 2л с с где г' = !г — 1,"!. Для малых й, пренебрегая малыми высшего, чем й, порядка, имеем: г дг г =г — Ь вЂ”, дл ' где — — -производная в направлении нормали к С в сторону, д дл противоположную С'. Отсюда А дг) д 1и г' = !п г + !п 1! — — — 1 =1п г — Ь вЂ” !и г.

г д44 дл Учитывая еще, что р'с(з' = — р)й, получаем: и (г)= — 2„! йр(ь) д 1пг й. 1 Г д с Переходя здесь к пределу при й- О, получаем потенциал двойного слоя: "(г) = ~ И(ь) д !пг))з (Зб) с где нормаль берется в сторону кривой, несущей источники с плотностью +р (рис. 109). В заключение докажем, что любую гармоническую функцию можно трактовать как потенциал некоторого плоского поля. Для простоты ограничимся случаем односвязной области, ограниченной замкнутой кривой С, хотя утверждение верно и в общем случае. Пусть дана функция и(г), гармоническая в такой области Р; построим сопряженную с ней функцию о(г) и к функции !(г) = и(г)+)в(г) применим интегральную формулу Коши* ) п.

141 Г !(11 с Положим с — г = ге)е, тогда дифференцируя по Ь при постоянном г, находим: — = 4)) !п (~ — г) = 4( 1и г + 1 Йр. '! В случае надобности мы несколько отойдем от грананы области 44, чтобы формула Коши была применима. $ к постАнОВкА кРАеВых ВАдАч 245 Подставляя это выражение в формулу Коши н отделяя дей- ствительные 'части, получаем; и(г)= 2п ) ! (ь) й!р+ — ) о(1;) с(1пг. Г (37) и, (г) = — — ( и (ь) — 1и т <(з, 1 Г д 2п .( дп с представляет собой потенциал двойного слоя с плотностью моментов — и (с), Пусть о(ь) имеет непрерывную производную; интегрируя по частям второе слагаемое формулы (37), находим: Г дп из (г) = — — ) — !п т с(з 2п " дя с (внеинтегральный член исчезает в силу замкнутости контура); таким образом, это слагаемое представляет собой потенциал дп простого слоя с плотностью — —.

Доказана де Теорема 2. Всякая функция и(г), гармоническая в одно- связной области Р, А!Ожет быть представлена в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя, распределенных по границе Р. Если область Р многосвязна, то к этим слагаемым могут добавиться еще потенциалы точечных источников, расположенных в концах граничных дуг (сравни вывод выражения дяя и,(г)) нли в изолированных трчках границы.

47. Физические представления. Здесь мы рассмотрим различные физические интерпретации плоских векторных полей. 1) Поле скоростей течения жидкости. Пусть векторы поля У представляют собой скорости частиц в установившемся плбском течении идеальной несжимаемой жидкости. Поток вектора скорости Аг 1 (1т по)с(з с На линии С имеем с(!р= — аз; в силу условий Коши — Риде дз мана для аналитической на С функции !п(ь — г) можно напндф д!пт д сать соотношение — = — —, где — — дифференцирование дз дп ' дп по внутренней нормали к С.

Поэтому первый интеграл в формуле (37): ГЛ. И1. КРАЕВЫВ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ' 246 [47 означает, очевидно, количество жидкости, протекающее за един и цу времени через кривую С, циркуляция Г= ) (У, ас) 22з = ) (222Ь (2) с с — интеграл от касательных составляющих $', вектора скорости вдоль замкнутой кривой С. Источники и вихревые точки интерпретируются соответственно как точки, в окрестности которых отличны от нуля поток и циркуляция вдоль замкнуной кривой, округкающей точку (точнее, точки, в которых отличны от нуля плотности потока и циркуляции, т.

е. д1пг н го!). Если в некоторой области А" вихри и источники отсутствуют, то в этой области можно построить аналитическую функцию ((г) = = и(г)+1о(г) — комплексный потенциал поля — такую, что Р=П~) (3) Обратно, любую аналитическую в области гг функцию можно интерпретировать как комплексный потенциал некоторого плоского безвихревого и без источников течения идеальной несжимаемой жидкости. Рассмотрим п1дродннамическую интерпретацию простейших особых точек аналитической функции )(г). Из примера 3) предыдущего пункта видно, что логарифмическую точку ветвления а, в окрестности которой )(г) имеет вид 1' (г) = с ! и (г — и) + А2(г), где д(г) — правильная функция, можно интерпретировать как вихреисточник интенсивности У вЂ” 2Г = 2лс. Несколько обобщая пример 4), мы видим, что полюс а первого порядка с вычетом с 1, в окрестности которого ! (2) = + Р'(г), интерпретируется как диполь, полученный от слияния двух вихреисточников интенсивности -~-(Л! — 1Г), расположенных в точ- 1 ках г1 = а — 6, гг = а; при этом с, = — !1ш (У вЂ” 1Г) Ь.

ЗЛ1, 0 Точно таким же образом можно интерпретировать полюсы высших порядков. Рассмотрим два диполя с моментами С 2 т- 2п=', расположенных в точках г, = а — Й, аг = а. ПредельЬ пое образование, получаемое из этой системы при й-РО, называется квадруполег2 с моментом 2лс г. Комплексный потенциал поля квадруполя равен С-2 ! ! 2! ! с — 2 (нп — = = — С 2— А-22 Ь ~г — а+А г — а~ 2гг г — а (г — а)'' 47) $2. ПООТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 247 Таким образом, полюс второго порядка, в окрестности которого 7" (з) = ',, + ='+ д (г) интерпретируется как совокупность диполя и квадруполя с моментами, зависящими от коэффициентов с 7 и с 2.

Вообще полюс и-го порядка функции 1(г) можно интерпретировать как совокупность мультиполей порядков 2, 4, ..., 2п с моментами, зависящими от коэффициентов главнои части разложения )(г) в окрестности этого полюса. Прн этом под мультиполем порядка 2й понимается предельное образование, получаемое при 6- 0 из системы мультиполсй порядка 2й — 2 с моР22 — 2 ментами -~- —, расположенными в точках а~ — — а — 6, е2 = а Л (мультиполь порядка 2 †дипо).

Кратные точки комплексного потенциала, в которых его производная обращается в нуль, служат точками разветвления линий тока н линий равного потенциала (см. теорему 8 и. 41, в которой в этом слччае п ) 1). Такие точки называются крит«- чегкими' точками потока; в этих точках скорость потока равна нулю. В заключение приведем вывод известной формулы С.Л.Чаплыгина для подсчета вектора подъемной силы, действующей на цилиндрическое тело в плоско-параллельном потоке. Рассмотрим движение крыла самолета ,,7 11 с постоянной скоростью — $' . При скоро- 41 стях, не приближающихся к скорости зву- С ка, воздух можно считать идеальной несжимаемой жидкостью и пренебречь вихреобразованием вокруг крыла.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее