Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 23

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 23 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 23 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 23 - страница

Е. На Вл',ХЧ, 'ОМ-7М- 1. Такую функцию назовем центрированной в точке х„ а множество всех центрнрованных в хч функций обозначим Р (хч). Пир этом Ч А. Т. Фоменко вз ' наименьшие ОБъемы минимальных позеРхностен !гл. 3 фиксирована только точка х„а подкомплекс С меняется (рис. 38). Как и раньше, через и обозначаем Г-монотонные векторные поля На 1)а", ХО; ПрЕдПОЛОжИМ, Чтв ПОЛЕ О (КаК И фуНКцИя Г) НЕ ИМЕЕТ особых точек на «кольце» !ла",хо.

Если мы рассмотрим тройку (Оа~,хо, Г, О), то попадаем в ситУацию, РассматРивавшУюсЯ в предыдущих параграфах, т. е. можем определить функцию г д„,(г) =ехр $ (шах [хо(о, х) /йтас$~(х) Д~-'йг, О) мег зависящую от точки хо, функции Г и поля и, Определение 14.1.1. Функцией ямерного дефекта казсеем ао фуихциЮ И(ХО, ), О) а уау„(1)!!Ш( — ); ЗдЕСЬ д„,(1)=!!Шуа,(Г). а О )Чав (а)/ г ) В каждой точке хоев М рас- Я ~~.

смотрим число И» (хо) = С = ЗПР И (ХО, (в О). )»ае))ЕЕМ + а, )МР вав) 'я-мерным дефектом мкогообра- зия М число Ио=!и! Ио(хо). «вЕ М 'Построенное нами число зависит только от многообразия М н числа й; ясно, что Ио ) О, Если, например, ас.. и огай~ и функция Г в малой окрестности точки хо имеет вид Г (х) = ! х ! (где точка хо принимается за начало координат а» в этой окрестности), то в силу следствия 13.2.1 имеем!ПИ вЂ” = 1 а О чав (а) н И»(хо, Г, О) =у» да.(1). Понятие геодезического диффеоморфизма мы сформулируем для случая произвольного гладкого компактного риманова много- образия М".

Пусть х, ы М" — фиксированная точка, ехр„,: Т„М-в. -«М — отображение, определяемое пучком геодезических, исйодя- щих из точки Р, т. е, для точки уев Т„М ее образом в М при отображении ехр„, является точка у(!), где ! равно длине век- тора Оу в Т М, соединяющего О с у, а у(0) =+ Хорошо изое вестно (см., например, [21), что при малых е отображение ехр„ устанавливает диффеоморфизм между диском Оа(О, е), вложен- ным в ТмМ с центром в точке О и радиуса е, и его образом в М, который мы обозначим через !1" (х„, е).

Рассмотрим все те значения (, для которых ехр„устанавливает диффеоморфизм между Ра(О, !) и Я'(хо, !), и пусть !г(хо) зпр(!), т. е. при г)!«(хо) отображение ехр„перестает быть диффеоморфизмом. В частности, это означает, что если Оа(О, ь!(хо)) — замкнутый диск в Т М, то отображение ехр„уже ие является На НЕМ М Э н1 девект мнОГООБРлэня и ОБъемы повеРхностей 99 диффеоморфизмом и склеивает некоторые точки, расположенныв на границе диска 0" (О, П(х,)).

Ясно также, что при всех ((П(хе) замыкание'Ц'(х„!) открытого диска в М гомеоморфно замкнутому диску в М. Таким образом, число Н(х,) есть максимальный радиус открытого геодезического диска я" (хм Г) с центром в точке х„который можно вписать в М. Радиусами этого диска ()'(х„ П (хэ)) будем считать геодезические, исходящие из точки х, и являющиеся образами лучей, выходящих из точки О в касательной плоскости Т„,М (при отображении ехр„,).

Для каждой точки х ~ Я'(х„ !с(х,)) существует ровно один радиус, соединяющий ее с точкой хэ. Описанный выше диффеоморфизм О" (О, г((хэ)) на О'(хм )с(х,)) назовем геодезическим диффеоморфизмом. Ясно, что диск О" (х„)1(хэ)) не обязан совпадать с М; в общем случае дополнение к этому диску в М непусто. В то же время для некоторых симметрических пространств М (например, для пространств ранга 1) этот диск полностью исчерпывает собой все многообразие.

Рассмотрим компактное риманово многообразие М", и пусть хэ ен М вЂ” фиксированная точка. Рассмотрим геодезический диффеоморфизм и соответствующий ему диск О" (хм Р(хэ)). Этот диск состоит из пучка радиусов-геодезических, исходящих из точки х,; введем на этих геодезических натуральный параметр г, изменяющийся от 0 до !с(хэ), и рассмотрим на Я" (хм П(х,)) ",хэ гладкую функцию !(х) г, где х у(г), т. е.

значение втой функции в точке х равно расстоянию от этой точки до точки хэ, измеренному вдоль единственного радиуса (геодезической), соединяющего хэ с х. Очевидно, что эта функция не имеет крйтических точек на О(х„!т(хэ))",хэ', 0~1~Я(хэ). В качестве ~-монотонного векторного поля о возьмем йгаб~. Ясно, что ~о(ем! на О(х„й(х,))'~хе. Рассмотрим теперь тройку (О(х„й(хе)~,хм )', о); тогда, следуя 9 10, можем подсчитать коэффициент деформации н,(с, х) векторного поля о.

Поступая по общей схеме определения й-мерного дефекта М, определим я-мерный геодезический дефект М следующим образом. О п р е де л е н и е 14.1.2. Функцией й-мерного геодезического дефекта И!((хэ) назовем Функцию аэ ы1 (хо) = уэу~,(Н (хо)) 1!т —, а О все (а) где 1 а„(г). ехр~~ щах нэ(о, х))-'Иг. о1мн > Напомним, что ~йгад~( ~!. Положим хэ (х„г) = шах н„(о, х). л%(/ ю Назовем И-мерным жодезическим дефеюпом многообразия М число Ж = 1п! (!!(хэ), *,ам 41 1СО н»именьшие ОБъемы мнннм»льных пОВеРхнОстей !гл.

э Так как поле о имеет вид дгаб~ и так как (йгаб~! А» 1, то получаем а 1!ш д„(а) = Вш ехр ехр ! —,'1 = Иш (а'). а а а»(у')а Следовательно, мы доказали следующую лемму. Лемма 14.1.1. Для 113 (ха) имеет место формула ьг» (ха) Т»Ь, Ж (ха)). 14,2. Теорема о связи дефекта с наименьшими обьемами поверхностей реализующего типа. Рассмотрим, для простоты, обычную теорию (ко)гомологий Н', и пусть Н(х, 0(ф), (.')-Произвольный вариационный класс, введенный нами в й б. Для упрощения обозначим этот класс через О(Ь'). Напомним, что класс гд(Ь') образован теми поверхностями (компактами) Х в М, которые реализуют в случае гомологий подгруппу Ь' в группе Н»(М), а в случае когомологий — подмножество Ь' в группе Н" (М), Хотя все нижеследующие результаты верны и для произвольной теории й' (например, для теории бордизмов) и произвольного класса ау(го), мы сосредоточим свое внимание на этом простейшем случае.

Геометрически глобально минимальная поверхность Х из класса.гд(Ь') изображает собой наименьший (по объему) носитель Ь в М. Вопрос: в каких пределах может меняться объем наименьшего носителя 1.' для фиксированного многообразия М? Оценка сверху дается объемом любого конкретного представителя из класса Ю(7.'); оценка снизу является иетривиельной задачей, которую мы решим, используя понятие дефекта многообразия М. Пусть размерность й заключена в ин. тервале 3 =.

й «л — 1 (см, теорему существования ГМ-поверхности, $7). Теорема 14.2.1. Пусть Х» ~ М" — глобально минимальная поверхность, реализуюиугя подгруппу (подмножество) В' ~ О, т. е. Ха ~ ат (Ь'), Тогда имеет место неравенство чо1» (Ха)» »(' зпр Ч'„(ха Ха)) й»»й»)0. Тем самым, число й»(М) ока~»вохе зывается унинерсальной постоянной, оценивающей снизу к-мерный объем любой замкнутой минимальной поверхности, реализующей нетривиальные циклы (коциклы) в многообразии М. В общем случае мпа оцгнка неулучшаема, т, е.

существуют богатые серии примеров, когда эта оценка достигается на конкретных минимпльных поверхностях. Аналогичное неравенство имеет место и для геодезического дефекта 11», а именно: чо!» Х» м ~! Бцр Ч'»(ха, Ха)) Щ»»»$)0. Ясно, что ьг»«ьг». ~»,МХ, Доказательство, Рассмотрим разбиение М=0" ()С, хаев .

Еи Х„где Ха — фиксированная минимальная поверхность из $ Рл деьект мнОГООБРАзия и ОБъемы повеРхностеи !в! класса ег(Ь'). рассмотрим произвольную функцию /, центрирован- ную в хо (см. пункт 14.1), и пусть о — )-монотонное поле без особенностей на 0" х,. Поскольку все условия теоремы 11.2,1 выполнены, то из следствия 11.2.1 получаем неравенство чо1» Ха рчо!»(Х»() (/н::г)) =Чг (Хо, ), г) ы «11ш ',' ) о„,(г)=!1гп( — '„-е' — ) 11ш!' — )).т»д„(г). /ч'(хо, Ь а)1 . /ч'(х, /, в)т .

/ аа Отсюда, устремляя г к 1, получаем д» чо)»Х»- Ч'»(хо, Хо) "р»д«,(1)1!ш( — ) Ч',(хо, Хо)»оа(хо 1 о). о 01Е«,(о) Тогда, чо1» Хо ~ Чг» (х„Х) й» (хо). Далее, чо!»Х,= зцр [Ч/»(хо, Хо)й»(х»Д~ ««м К« Р»/ зцр Ч/»(хо> Хон 1п1»г»(хо)' / зцр Чг»(хо, Хо))»гь ~««ил, / ««ым 1««м К« что и завершает доказательство теоремы.

Напомним, что Ч'»(хо Хо)~1 на Хо. Кзк мы покажем ниже, существуют такие поверхности Х„ для которых выполнено равенство чо!»Хо=!!» О. Оказывается, на таких поверхностях вообще нет особых точек. П р е д л о ж е н и е 14.2.1. Пусть Х, ен Ю (Ь') — минимальная пжрхность, для которой неравенспыо теоремы 14.2.1 превращается в равенство, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее