А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 81

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 81 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 81 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 81 - страница

имеет место сходимость по Р-вероятности. Из теорем ! и 2 $ 3 главы !'1Г следует также, что для каждого х е р имеет место и сходимость с вероятностью единица: при Д1- со Гн(х; ы)- Г(х) (Р-п.н.). (3) Весьма замечательно, что имеет место и более сильный результат о том, что сходимость в (3) равномерна по х. Теорема 1 (Глнвенко и Кантелли). В сформулированных условиях (случайные) величины 0н(ы) = зпр [Гн(х; ы) — Г(х)[ сея сходятся к нулю с вероятностью единица: Р(!пп Рн(ы) = О) = !.

Доказательство. Пусть 9 — множество рациональных чисел на к. Понятно, что зпр [Гн(г; ы) — Г(г)] гео есть случайная величина. И поскольку Он(ы) = зир [Гн(х; ы) — Г(х) [ = зир [Гн(г; ы) — Г(г)], кея гео то статистика 0н(ы) также есть случайная величина и, следовательно, можно говорить о ее распределении. Пусть целое М > 2 и й = 1, 2, ..., М вЂ” !. Определим последовательность чисел хм ь = гшп(х е Д: й/М < Г(х)), полагая также хм,ь = — оо, хм,м =+со. Пусть интервал [хмы хмл+!) фа! и х принадлежит этому интервалу. Тогда очевидным образом Гч(х; ь!) — Г(х) < Гя(хм ь+! — О) — Г(хмь) = = [Гн (хм ь+! — О) — Г(хмл+! — О)]+ [Г(хм ь+! — О) — Г(хмл)] < <Г„(х.,+, О)-Г(хмл„'-О)+!! «13 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 483 Аналогично, снова предполагая, что х е [хмл, хм »+1), находим, что Ен (х; ш) — Е(х) > Ен (хмл, 'ш) — Е(хмл) — 1/М. Тем самым, лля каждого х Е )г [Ен(х; ы) — Е(х)[ < < 1пах ([Ен(хмл', ы) — Е(хмл)[, [Ен(хи1 — О; ы) — Е(хм1 — О)[)+1/М 1К«ИМ-1 1<(<М-1 и, значит, Р-п.

н. 1нп зцр [Ен(х; «1) — Е(х) [ < 1/М. » со Отсюда в силу произвольности М получаем требуемое утверждение (5). О Теорема Гливенко и Кантелли, являющаяся одной из фундаментальных теорем математической статистики, утверждает, как уже отмечалось, принципиальную возможность проверки на основании наблюдений над (независимыми одинаково распределенными) величинами С1, Сз, ... того, что функцией распределения этих величин является именно функция Е =Е(х). Иначе говоря, эта теорема гарантирует возможность установления согласия «теории и эксперимента».

3. Несмотря на отмеченную принципиальную важность этой теоремы, она не отвечает на вопрос о скорости сходимости величины отклонения 0н(ы) к нулю при А! - оо и, тем самым, не позволяет судить о спгепени правдоподобности того, что результаты наблюдений «идут» от (независимых) случайных величин, имеющих своей гипотетической функцией распределения функцию Е=Е(х), х е Я.

Из центральной предельной теоремы следует, что для каждого фиксированного х Е)т ,/А!(Ен(х; ы) — Е(х)) —" — .+(О, Е(х) [1- Е(х)]), (6) что означает сходимость распределений величин т/РЕн(х; «1) — Е(х)) к нормальному распределению с нулевым средним и дисперсией Е(х)(1 — Е(х)). Более интересно, конечно, получить предельное распределение для (Равномерной) статистики Он(ш) =вцр [Ен(х; ы) — Е(х)[ к или, скажем, родственной статистики Он+(ы) =зцр(Ен(х; «1) -Е(х)). (7) к ГЛ. Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Следуюшее наблюдение (А. Н.

Колмогоров) является ключевым при отыскании предельных распределений для этих статистик. Лемма 1. Пусть !Р— класс непрерывных функций распределения Г = Г(х). Для каждого Д() ! распределение вероятностей статистик ()н(ь«) одно и то же для всех Г е !Р. Аналогичное справедливо и для статистики Вн+(ь«). Доказательство. Пусть Пь «Гг, ...

— последовательность независи мых одинаково распределенных случайных величин, имеюших равномерное (((=У(х)) распределение на [О, ![: Р(п! <х)=х, 0<х<1. Утверждение леммы будет следовать из того, что, как оказывается, для каждой непрерывной функции Г=Г(х) распределение статистики знр [Гн(х; ы) — Г(х)[ совпадает с распределением зир [Ун(х; и«) — (I(х)[, « « где функция есть эмпирическая функция распределения величин пь ..., г)н. Обозначим через А множество интервалов г'=[а, в], — со<а<в <со, постоянства функции распределения Г = Г(х), т.

е. пусть Р(4! Е 1) = О. Тогда Пн(ы) =зир [Гн(х; ы) — Г(х)[=зир [Гн(х; ь«) — Г(х)[. «ея «еА Вводя величины г!ь =Г(сь) и эмпирические функции распределения Ун(х; ь«) = — ~ Щ(ы) < х), ! находим, что для х е А и и («н(Г(х); ы) = — ~ l(Г(сь(ш)) < Г(х)) = —. ~~~ !(Ел(ь«) < х) = Гу(х; ь«), ! Ф=! э=1 поскольку для таких х (ип сл(ь«) < х) =(ик Г(сь(и«)) < Г(х)). Таким образом, Пн(ы)=зир [Г~(х; ю) — Г(х)[=эир [(I~(Г(х); ы) — Г(х)[= «еА «еА =зир ~Ин(Г(х) ь«) — Г(х)[= эир [У~(у;ы)-у[: — "'"' зир [(«н(у;ы)-у[, «ея дейки уе!Ол! 4!3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 485 Р кн. где последнее равенство ( ='') следует из того, что Р(б, =О)=Р(б, = Ц=О.

(8) Покажем теперь, что случайные величины й» имеют равномерное (на [О, 1]) распределение. С этой целью обозначим (для у е (О, 1)) х(у) =1п((х е гг; г(х) ~ эу), Тогда находим, что г(х(у)) = у, у Е (О, 1), и р[й <И=РК(с ) <И=РК(с ) <Г(х(у)Н=Р(с <х(уи=~(хЬ)) =у. Вместе с (8) это доказывает, что случайная величина гл (а значит, и каждая нз величин 41з, г)з, ...) имеет равномерное распределение на [О, 1]. П 4.

Установленная лемма показывает, что для отыскания предельного при А/ - оо распределения статистик Рн и Р+ (в классе Р непрерывных функций распределения г"=г(х) для наблюдений Сь Сз, ...) достаточно сразу предположить, что (н Сз, ... — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с равномерным распеределением на [О, 1]. Зафиксируем некоторое М > 1 и упорядочим (для каждого ш Ей) величины 4Ь Сз, ..., Сн в порядке их возрастания, обозначая эти новые величины (порядковые статистики) через ~~~~, сз~~, ..., сй~, где (~ гп1п((~ 6 ". Ь) " (н 1 гпах(4~ 4я ° 4н). (Вероятность совпадения двух таких упорядоченных величин равна нулю.) Полагая и,(р; ) С; ((Е,()<у) 1 (9) »»и имеем (10) Рн(ш) =шах [Ун(у; ы) -у[. уел Нетрудно видеть, что максимальное значение правой части может достигаться лишь в точках скачков функции распределения Рн(у; ы), т.

е. в точках С1н1, 4з1н1 С1»О. Тем самым, Рн(ш) =шах[ — -с» 1»О1 »Кн [АГ Отсюда следует, что для отыскания распределения статистики Рн(ы) надо знать совместное распределение порядковых статистик 4~~~, се~~,..., сй ГЛ. П). СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР С целью отыскания этого распределения рассмотрим последовательность г,), г',м ... независимых экспоненцнально распределенных (Р(г,"» >х) = =е ') случайных величин, и пусть 5„=~1+Ьэ+...+~„, п>1. Лемма 2.

Совместное распределение вектора (~)~, сэ, ..., сн ) совпадает с совместным распределением вектора Доказательство. С одной стороны, для 0 <у) «... Уч < 1 Р(»«] Еа)у) ..., »«й Едун)=~~~ Р((» Еду) ... (» Едун), (12) где суммирование производится по всем перестановкам (/г), ..., Йн) чисел (1..... й)). (В (!2) н также в дальнейшем используется несколько вольная «днфференцнальная» форма записи, которой нетрудно придать точный смысл.) В правой части (12) величины с»„..., с», независимы, равномерно распределены на [О, 1]. Число перестановок чисел (1, ..., йГ) равно )ч'1, поэтому правая часть в (12) равна ))11ду) ...дун.

Следовательно, если (уы ..., У,) Е Ьн, где Ьн = (у) Е [О, 1], ..., Ун Е [О, 1]: 0 < у) «... Ун < < Ц, то Р((С)н) Е)(у), ..., (~~) Е с(ун) = Ф! с!У)...с(ун. (!3) Если же (уы ., у«) Ф ~в. То (14) Рф ) е г(у), ..., (н е дун) =О. Покажем теперь, что, с другой стороны, точно так же Р~ — Еду,, ..., — Едун)= 5н 5н+) 5нч.) п))ау)" ауи (Уы ",Ун)Ес»и О, (Ун ", Ун) ФАч. С этой целью рассмотрим совместное распределение случайных величин 5), ..., 5н+1. Если (х), ..., хм+1) е с»н+1, то находим, что Р(5) Едх), 5э Едхэ, ..., 5и+) Едкие))= =Р(~) е ах), г,з Е ах» — х)..., гн+1 Е ахне) — хн) = ««е-ме-(м-м) е-1»и+~ -ки) дх) с(хн+) — е-»и+)ах) с!хн+) (!о) 4!3.

Фундлментдльные теОРемы мАтемАтической стАтистики 4зт Если же (хн ..., хм+1) ф4)а+ь то Р(5, Едхь 5зЕдхз, .", 5а+~ Едха+,)=О. (! 7) Поскольку 5а+~ =~~+ ... +~а+О где ~н ..., ~а+~ — независимые экспоненциально распределенные случайные величины, то (задача 3) кане хоы Р(5а+1 Е дХа.Ь~) = ~'о~ Г(Ха+о Из (16) н (18) находим, что для (хь ..., ха+1) ЕЛа+~ Р(5, Еа~хн ..., 5а Ег(ха [5а+~ Едха4д=М!ха™, дх~ ...уха.

(19) Если же (хн ..., ха+1) К Ьа+н то левая часть в (19) равна нулю. В результате видим, что (18) / 51 5а Р~ — Е4(Ун " — а ЕдУа [5а+~ =ха+~) = ~5а+~ ' '"' 5а+! ТУ!ду,...дуа, (у,, ..., Уа)ЕОа, О, (У| " Уа)ясьа 4ИОа(ы) = т% шах е ]54 А зка 5а+~ (20) где равенство = означает совпадение ао распределению величин в левой н правой частях. Из (20) е А! 154 — А й 5м+1 — А! уЖ0а(ы) = — гпах~ — —— (21) 5а+~ ела[ ~/М А! ~ГМ Это соотношение весьма удобно для исследования предельного поведения величин т7%0а(ы) прн АГ- оо.

У Поскольку — — 1 (Р-п. н.), то, полагая для ! Е [О, 1] 5а+~ Х!а! 5! ! — [Лч] ,/У находим, что Ощ р(,/Я7)а(ы) <у)оо 1!гп Р( зир [Х, — ГХ1 [~У) М оо а оо ~аякс~ н в силу независимости правой части от ха+1 приходим к справедливости представления (15), сопоставление которого с (13), (14) доказывает утверждение леммы. П Из этой леммы вытекает, что ГЛ.

и!. СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Тем самым, вопрос о предельном распределении величин ~(М0н(и0 сводится к изучению предельного поведения (по распределению) величин зир ]Х!»О — !ХРО] при й!-«со. о«к1 При каждом фиксированном 1 Е [О, 1] предельное распределение величин Х~~ в соответствии с центральной предельной теоремой (теорема 1 в 3 4) совпадает с распределением величины Вн являющейся гауссовской с ЕВ~ — — 0 и ЕВ~з= !. На самом же деле можно угверждать больше. Именно, рассмотрим введенный в $13 главы П процесс броуновского движения (винеровский процесс) В = (В~)як~< ~.

Такой процесс был там определен как гауссовский процесс с Во = О, ЕВ~ — — 0 и ковариационной функцией ЕВ,В~ = пнп(з, !). Так вот, оказывается, что в соответствии с замечанием 3 к теореме 1 в $8 гл. т'П совместное распределение Р1~! величин (Х~!"О, ..., Х~лз) слабо сходится к совместному распределению Р, н величин (В,„..., Вь). (О слабой сходимости см. 33 1, 2.) Поэтому естественно ожидать, что распределение и величин зцр [Х]~ — 1ХРВ] сходится к распределению акга~ величины зцр ]В~ — !В~].

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее