Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 29

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 29 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 29 - страница

следУет ли из Равенства Еьь = Ет!, сУществованне Ь такой, что ЕД!ь) т!? 7,13. Пусть $ и и — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным математическим оягпдапнем. Доказать, что случайные величины Е($!$+ т!) и Е(т!!Ц+ т!) одинаково распределены. В каком случае онп будут пезавнсимыу 7Л4. Доказать, что в условиях предыдущей задачи ЕД!Ц+ т!) =Е(т!!$+ ц) п.

н. 7Л5. 11усть $ и т! — независимые одинаково распределснныв случайные величины с конечным математическим ожиданием. Доказать, что Е Д ! 5 + т!) = Е (Ч ! $ + Ч) = ' '~" и. н. 7Л6. Пусть Я„Я, ...— певозрастающая последовательность п-алгебр, $ — случайная величина.

Найти Е(Е(... ЕД!Я,) (Я,,)... !Я„), 7.17. Пусть Я„Я„...— неубывающая последовательность о-алгебр, $ — случайная величина. Найти Е(Е(...ЕД!Я,) !Я,)... !Я„), 7.18. Пусть $ н и — случайные величины с конечными матема тпческнмн ожиданиями. Доказать, что если с вероятностью 1 Е(~!8)=~) и Е(т!!$) ~, то в=т! п.н. 150 7.19. Пусть вь — случайная величина с математическим ожиданием а, Я, и Яв — независимые о-алгебры, 5, Е(в!Я,), =Е(с,!Яв). Найти распределение $ь 7.20.

Пусть $о ..., в — независимые одинаково распределенные случаиные величины с конечным лватематнческим ожиданием, т! = $, +... + Ц . Доказать, что Е(ь. !Ч., Ч.+," )=Ъ!и с вероятностью едшгица. 7.21 (неравенство Иенсена). Пусть вр(х) — выпуклая функция, $ — случайная величина, такая, что Е!~р($)! ( . Доказать, что Е(гр($) (Я) ~ ~р(Е($(Я) ).

7.22. Доказать, что 0Е(в!Я) -0з. 7.23. Пусть О <а < 1, О~ р ~ 1, а+ р» 1, с и т! — случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что Е(!в !а!г)!в/Я) ~ 1Е(!Ь ! !Я) ~~(Е()т)! !Я))в 7.2йв. Пусть $о $ь ...— последовательность независимых случайных величин„в! — случайная величина с конечной дисперсией, и = Ет). Доказать, что 1 Р— (Е(т1(с,) + ... + Е(ц! $„))- а при и- 7.25. Справедливо ли следующее утверждение: если ь — $ п.

п., то для любой случайной величины т! в Е („! Е„) -- Е („!;) 7 7.26. Пусть $ь сь ...— последовательность случайных величин, Я вЂ” о-алгебра. Доказать, что если для некоторого р ~ 1 Е!$ — з!в О при и ', то Е!Е(й„!Я)- Е(в!Я) ! - О. 7.27. Пусть Я„Я„...— последовательность о-алгебр, $ н случайные величины с венечными математическими ожиданиями.

Доказать, что если Е($!Я.)- г! п. п. прп п —, то Е(ьь|Я)= Е(т1!Я) п.п., где Я= П Я». г =-1 7.28. Пусть в и т! — случайные величины с копечпымп математическими ожиданиями. Доказать, что если существует последовательность случайных величин ь„Ьн ... такая, что Е($!~ )- ц п. к.

при л, то Ей =Ет!. 7.29. Пусть Я~ '= Яв ~ ° ..— неубываюп1ая последовательность а-алгебр, "; — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что для любого е ) О Р(. р !Е(ь!Я,)!) ) с=в!Е!. ~1ж ал / е 151 7.30. Пусть Я, <= Я, ~...— неубывающая последовательность а-алгебр, Я=о () Я. $ — случайная величина с конечным математическим ожиданием Доказать, что ЕД!Я„) Е(ЦЗЯ) п.

н. 7.3(. Пусть Я, ~ Я, ~...— невозрастающая последовательность н-алгебр, Я= ПЯ, я=1 $ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что ЕД~Я )- Е(с~Я) н. н. 7.32. Пусть Яп Я,, ...— последовательность .а-алгебр, Š— случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что последовательность Е(с!Я,), Е(е!Я,), ... равномерно ннтегрнруема.

7,33. Доказать, что случайная величина $ и о-алгебра Я независимы тогда и только тогда, когда для любой борелевской функции г((х), такой, что Е~~р($)! (,.выполнено равенство Е (~р($) ~Я) = Е<р(с). 7.34. Пусть (Й,,Ф, Р) — вероятностное пространство, Я вЂ” с-алгебра, Я ~ Ж Доказать, что для любого события А Р (А) = ~ Р (А ! Я) Р (г(го).

а 7.35. Доказать, что любые две случайные величины, определенные на вероятностном пространстве (12,,Ф, Р), условно независимы относительно о-алгебры .Ф. 7.36. Доказать, что случайные величины $ и т~ неаавнсимы тогда и только тогда, когда онп условно независимы относительно тривиальной о-алгебры Я=(И, й), 7.37.

Доказать, что а-алгебры Я, и Яа условно независимы относительно а-алгебры Я тогда и только тогда, когда для любого В,ыЯ Р(В,~ЯЯ,) = Р(В,!Я). 7.38. Пусть случайные величины е и т) независимы. Могут ли опп быть условно зависпмымн относительно какой-нибудь о-алгебры Я? 7.39. Пусть Р(А~Я), Аылг,— регулярное семейство условныт серовтностей, $ — случайная величина с коночным математическим 152 ожиданием.

Доказать, что й (~ [ Я) - ~ $ (ю) Р (г[го [ Я) п. н. [1, ыен [О, 1Е3), ) [О, ез ен [1ЕЗ, 1[; б) т[ в[пню; в) 0= 1 — Зы, ез ен [О, 1ЕЗ), ю ен [1,'3, Ц. 7АО. Пусть Я вЂ” о-алгебра борелевских подхпюжеств П = (О, 1), Р— мера Лебега на Я, С~Я вЂ” множество, имеющее внешнюю перу Лебега 1 и внутреннюю меру Лебега О. Рассмотрим верояткостное пРостРанство (1), Ф, Рс), где,вг — а-алгебРа мнон еств вида Л = В,С+ В,С, В„В, ж Я, Рс(А) = —,Р(В,) + —,, Р (В,).

Доказать, 1 что семейство условных вероятностей Р,(А[Я) не является регулярным. 7.4!. Рассмотрим вероятностное пространство ([з, .Ф, Р), тле 11 — — [0,1[, Ф вЂ” а-алгебра борелевскпх подина~весте, Р— мера Лебега. Доказать, что семейство условных вероятностей Р(А[Я) является регулярным, если: а) Я= (~, Р); б) Я,Ф; в) Я вЂ” а-алгебра, порожденная мпои;еством )О, 1Е2). 7.42. Пусть па вероятностном пространстве (1з,,Ф, Р), где П = [О, 1$ .хФ вЂ” о-алгебра борелевских множеств, Р— мера Лебсга, задана случайная величина В(го) ег.

Найти условное распределение Ц относительно а-алгебры Я, порожденной случайной величиной т[, если Глава 8 БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понлтве безгранично делимого распределения возникает прв изучении случайных процессов с нсзависнл<ыми приращениями и при исследовании распределений, явля<ощихся прсдельныии для распределений сумм независимых случайных величин. Распределение вероятностей или соответству<ощая функция распределения Р(з) называ<отсл бггграиичио делимыми, если двя любого целого волок<игольного и существует функции распределения р (к], такая, что "<*< — —.<; ...

г,<<. Соответстеу<о<цая характеристическая функция называетгя безграничпо делимой. Таким образом, характеристическая функция 1(г) называется дггграиичко делимой, если для любого целого положительного я существует харантсрнстическая функция ( (Г), такал, что 1 (т) = У (г) ) ". Примерагл< безгранично делимых распрсделевий могут слуткить нормальное, нуассоновскос, показательно< распрсчелелия, распределение Боши (см.

задачи 88 4, 8. 5) . Безгра«ичко делимыс характеристические функции распределений допускают следующее каноническое представление. Кпиагшчегкое предстпглеииг Лгпи — Хиичииа. Функция 1(т) явллстгл безгранично делил<ой характеристической функцией тогда и только тогда, когда опа прсдставима в виде ) —" Пи <1-<-и 3 1(г) = ехр <ту+ ) ~е<<и — 1 — т) — '. дС(и), (1) — .) ((л" —, ') 1-, 'и и где С(и) — неубыза<ощзя ограничснпал функция, Т вЂ” вещественное число. Прн гз и = 0 подынтеграаьная функция полагаетсл равной й Иногда предпочтительнее пользоватьсл друюги прсдставленлсм.

Кпиоиическое прсдставлепие ~!еги Функпля 1(Г) является безгранично делимой характеристической функцией тогда и только тогда, когда оиа представима в виде -о тз 1 <'п„гги П<-г..г(„ 2 1 -'г и, Пп '((""-" — )"' ) 1+.'~ те 154 где т и о — вещественные постоянные, Ы(и) и 1г'(и) — неубывающие функции, И(и) л О, Л (и) ( О, 1(гп Ы (н) = 1(пг Дг (н) = О.

В случае, когда существует дисперсия, имеет место более удобное представление Колмогорова. Кенонинесное нрелетаеленне Колмогорова, Фуггкцггя ((Г) является характеристической функцией беграпично делимого распределения с конечной диспорсией тогда и только тогда, когда оиа представииа в виде (3) где 1 — веществеппал постоякпая, а К(и) — неубывающая огравичеикал функции, танен, что К( — со] = О. Каждое из представлеппй (1), (2) и (3) едипствеипо. Важньгм подклассом безгранично дещыиж распределений является класс усгоггчивыт распределений. распределеипе вероятиостсй пли соответствующая функция распределеипя 1г(г) иазываются усгобниеыли, если для любых положительпых Ьг п Ьг и жобых всществюипеж с, и с, существуют положптельиое число Ь и действителыюе число с, танис, что Р Ь ер Ь =Р Ь В термииах характеристических функций зто определепие может быть сформулировано следующим образом.

характеристическая функция 1(г) называется успгнннеой, если для жобых положительпых Ьг и Ьг существуют положительное число Ь и действительное число Ф такие, что 1(Ьгс).((ьг1) = /(Ы)е'т'. Характеристические функции устойчивых распрелелепий допускают следугощее вредставлеипег 1(г) устойчива тогда и только тогда, когда оиа предста- вима в виде 1(1) = ехр (11() — г() Г )" (1+ гб С(с,а))~, (г( где О ( сг ( 2, 5 — всществепиое число, гГ =- О, (0( ( 1, прп г = О полагаем — =.

О, )1) 13 —. а прп С(с, а) = 2 — 1п(1) прп а чь 1, 8.'г. Пусть случайная величина $ имеет безгранпчпо делимое распределение. Доказать, что при любых вещественных а и Ь рас- пределеиис случайпой величины а$+ Ь таи кв безграппчио делимо. 155 В спмчетричпом случае зто представление может быть существенно уггровгсгю: для того, чтобы симиетрпчвая характеристическая функция 1()) была устойчивой, иеобходпмо и достаточно, чтобы оиа имела вид г (г) =- е е)г), г(~О, О (а(2. 8.2. Доказать, что слабый предел последовательности безгранично делимых распределений безгранично делим. 8.3. Пусть $ и >) — независимые случайные величины с безгранично делимым распределением.

Доказать, что случайная величина 5+ г) имеет также безграничное распределение. 8.4. Пусть >(Г) — безгранично делимая характеристическая функция. Доказать, что характеристическая функция (((г)( также безгранично делима. 8.5. Доказать, что безгранично делимая характеристическая функция нигде ке обращается в нуль. 8.6.

Доказать, что поназательное распределение б>езгранично делимо и найти его «корень >г-й степени». 8.7. Пусть >(г) — безгранично делимая характеристическая функция. Доказать, что для любого а)О функция ()'(()) также является безгранично делимой характеристической функцией. 8.8. Пусть )'(() — характеристичесная функция, такая, что для некоторой последовательности целых положительных чисел в„п„..., удовлетворяющей условию и> — " при й —, функции (((>)) ~, й=1, 2, ..., явлнются характеристическими. Доказать, что >(() безгранично делима. 8.9. Доказать, что равномерное на отрезке распределенно пе может быть безгранично делимым.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее