Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации

И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации, страница 7

DJVU-файл И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации, страница 7 Алгоритмы оптимизации основанные на методе проб и ошибок (2638): Книга - 5 семестрИ.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации: Алгоритмы оптимизации основанные на методе проб и о2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "алгоритмы оптимизации основанные на методе проб и ошибок" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 7 - страница

В связи с этим  — оптимальный на классе (Р, Х) алгоритм А (В, Р, Х) определяется, с помощью вспомогательных функций В„В, и множества В,, как решение задачи минимизации по А ~ й А заданной функции шах В,(А, уз» (А, 7, Х) при заданных «,х)е!е.х! ограничениях В, (А, у~~с (А, г', Х)) ~ В„т. е, А(В, Р, Х) = агй ппп шах В,(А, у' (А, Г, Х)). АЕА,В,(А,«чг(А,1 Х))ЕВ, ШХ)Е(Р,Х) Следует отметить, что если для класса (Р„Х,) построен оптимальный алгоритм А, = А (В, Р„Х,) и затем оптимальные алгоритмы А, и А, соответственно для более узких классов (Р„Х,) и (Р„Х,), удовлетворяющих условию (Р„Х,) [) (Р„Х,) = (Р,, Х,), то это еще не значит, что алгоритм А, уже не нужен и можно заменить его построенными более эффективными алгоритмами А, и А,.

Очевидно, такая замена оправдана лишь в тех случаях, когда повышение эффективности А, и А, по сравнению с А, компенсирует дополнительные затраты йа проверку принадлежности ((", Х) ~ с" (Р„Х,) при выборе требуемого алгоритма А„( = 2, 3. Однако проверка принадлежности практической задачи Д, Х) определенному классу задач (Р(, Х() зачастую оказывается почти неосуществимой и поэтому «ранжировка по эффективности» существующих алгоритмов также оказывается весьма проблематичной.

В большинстве случаев правдоподобную оценку эффективности алгоритма дает лишь вычислительный эксперимент. 0.3. Методы отсечении Приведем примеры успешного применения методов отсечений ' для решения ряда важных задач оптимизации.

1, Мввиииввчив квввивыиуквв)н Функций Функцию (' ( [а, И вЂ” «В, [а, Ы ~ В, называют квазивыпуклой, если для любых а < х)< х»( Ь неравенство Г (х,) ~ ) (х,) влечет неравенство х* агд ппп 1 (х) ( х,; а неравенство 1 (х,) ) Г (х») к«(и») влечет неравенство х*~ х,. Поэтому, выбрав х,= (а + Ь вЂ” з)(2 и х,= (а+ Ь+ е)/2, в случае 1(х,) ~ 1 (х,) получим х*~ Х' [х„Ы, а в случае 1 (х,) ~ 1 (х«) получим х'~ Х' = [а, х,[, т. е. в обоих случаях вместо [а, Ь! найдем новый (почтн вдвое короче) отрезэк Х' локализации х*. Повторяя этот процесс, будем находить все более короткие отрезки локализации решения [а, И ~ Х' ~ =эХ»~...

Более эффективные и даже оптимальные алгоритмы локализа. ции х' (по методу Фибоначчи и золотого сечения н другие) описаны в $1.1 — 1А. 24 В. Метод минерале. Мввимиеации лииывцевых Функций Утверждение 1. Если функция Р является минорантной для 1 на множестве Х, т. е. для всех хЕ Х, Р (х) (~(х), х ~ Х, то хе = ага ш[п)'(х) ЕХр з [х[Р(х) ~~(х)) П Х, «рх ! (хе) Е [!и! Р(х), 1(х)!. «зх Действительно, для всех х !2 Хр имеем )'(х) ~ Р (х) ) 1(х). С л е д с т в и е 1. Если Хл= (хт, х«, ..., хл) с:Х, Мм=ш!п~(х~) =~(х~ ) 1-1,л Сл ( т !и Р (х), «ех то ~(х«)Е[Сл, Мл) Поэтому при достижении неравенства Мл — См ( е получим у (х') — 1(х«) ~ з.

Утверждение 2. Если функция ! липшицева на Х, т. е. существует константа Липшица Ь, для которой [ ~ (х') — ~ (хт) [ = Е [ х' — хл ~ прн х', х' Е Х, то функция Рл(х) = шах Ц(х') — Ь[[х — х'[) ~з 1ь»» является минорантой для 1. Поэтому для минимизации липшице- вой функции можно использовать следующий Алгоритм 1: выбираем произвольное х' ~ Х, полагаем Х, = = (х'), А! = 1 и для У = 1, 2, ... вычисляем х"+' = ага ппп Рл (х), «ЯХ Хл+1 =Хи [) [хи+').

Утверждение 3. Если последовательность х', х', ... построена с помощью Алгоритма 1 для липшицеаой функции 1, то !!ш1(хл) = !п1~(х), л» «6х а если при этом Х вЂ” компакт, то 1пп х" = х*. 3. Мивимваацив аывуилых функций, Метод аллин«аидов Утверждение"4. Если функция 1выпукла и ограничена на х ~ Е Л" их Е Х, то существует такое С„-Е В", что линейная функция Р-,р(х) ив м (С;, х — х) +) (х) 25 является минорантой для г на Х, т.

е. для всех х Е Х Р-„~ (х) -Я (1 (х) и, очевидно, Р-„(х) = / (х). С л е д с т в и е 1. Если х' Е Х, то хк с Х: (х ! Рк ~ (х) «( ~ (х') ) П Х, С л е д с т в и е 2. Если х', х', ..., х" р Х, то х«ЕХл а Х П (х!Р„к,(х)(~(х9) Это позволяет исходную задачу минимизации 7 на Х заменить задачей минимизации г на «меньшем» множестве Хл. По-видимому, представляет практический интерес выбирать значения х', х', ..., хл, ...

таким образом, чтобы множество Х ч эффективно «уменьшалось» с ростом У. Для этого целесообразно выбирать элементы х' поближе к центру тяжести или чебышевскому центру множества Х~ Строятся также (у, У)-оптимальные методы, в которых элементы х', х', ..., х" выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимальное значение меры к (Хл) (например, диаметра Хл). Особо эффективным оказался следующий метод эллипсоидов (417).

Предположим, что известно число 1«, и точка х' ~ В", удовлетворяющие условию ~ х' — хк !! ( ям т. е. х* принадлежит шару 5 (х», Я,) радиуса Я, с центром в точке х'. Тогда х" принадлежит также и полушару 5,(х~, Я,) = 5 (х', 1«,) (! (х (Р;! (х) (7 (х')). Построим (это нетрудно) гиперэллипсоид минимального объема, содержащий 5, (х', Я,) и затем с помощью линейного преобразования «растянем» пространство таким образом, чтобы данный гиперэллипсоид опять превратился в шар. Очевидно радиус 1««этого нового з Р к ю Р к,(к;«,кт:7Л. и у, повторяя данный процесс, можно локализовать хк в шарах все меньших радиусов.

В итоге получаем последовательность (х"'„ удовлетворяющую неравенствам !! х»+' — хк !! ( д ~ х» — х* ( при независимом (!) от! значении д = 1 — »7»п»( 1, т. е. 1!ш х» = х*. Этот метод легко приспосабливается и для минимизации выпуклой функции ! на заданном выпуклом множестве Х ~ (х ~ д' (х) ( ( О, ! = 1, т) с выпуклымифункциямид': В"-к. 11. Действительно, введем вспомогательную функцию Р (х) = 1 (х) на Х и Р (х) = = д'»(х) вне Х (1„= агяшах д'(х")). Так как Агд ш!п~(х) с с ««х Р Ага ппп Р (х) = Х и при этом Р выпукла вне Х ( нетрудно проверить, что Р -=Рк при хбХ и Р»-=Р„~ при х(с «»Р к~/ к»Р «~«К Я Х), то требуемый полушар можем «отсекать» с помощью Р,- 26 Формально к методам отсечений можно отнести и методы лакал лизации решений на подмножествах Х ~ Х тех элементов х, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимальности.

Часто необходимые условия оптимальности оказываются достаточно конструктивными и позволяют отыскать х* (либо локализовать его в «достаточно малых» подмножествах Х). 0.4. 0 локализации решений с помощъю необходимых и достаточных условий оптималъности. Дополнителъная терминология 1. Необходимые уелоелл оцтлмальвоетм длл длффевеццируемых фуввцлй Функцию г называют дифференцируемой в точке х, если существует такой вектор ЧГ' (х), что для всех х в окрестности хсправедливо асимптотическое равенство Г(х) = Г(х)+ (71(х), х — х) + о(!~х — х!!). Вектор Ч) (х) называют градиентом или производной функции Г' в точке х.

Утверждение 1. Оптимальное решение хе, минимизирующее дифференцируемую функцию г" на множестве Х, находится либо на границе Х множества Х, либо на множестве Х* решений х* уравнения Ц (х) = О. Следовательно, задачу минимизации г' на Х можем заменить задачей минимизации Г' на подмножестве Х = Х () (Хе () Х) ~ Х. Справедливость утверждения 1 следует из того, что предположение 7г (х*) чь О для хе Я Х ведет к противоречивому (при малых 2, ) 0) неравенству Г (х* — ) !Ч (х*)) = Г (хе) — )!, ~~ у)' (х') ~~ + + о ()!) < у (хе).

Если существует )' (х», г) ~1)ш (!". (х»+ Хг)— о+ — Г(х»))/Х, то Г'(х', г) называют производной по направлению г для функции Г' в точке х". Утверждение 2. Если г дифференцируема в точке х», то г' (х», г) = (Ц (х)», г). Направление г (х») Ь агу гп!п Г' (х», г) называют направлением ммм наибыстрейшего убывания функции Г в точке х».

С л е д с т в и е 1. Если г дифференцируема, то г (х») = = — 7г (х»). Это значит, что приближение х»+', лучшее чем х', можно вычислить по формуле х»+' = х»+ )!г (х»), », = ага ппп у" (х'+ + ) г (х»)). Сл ед с тв и е 2. Если х* = агд ппп !(Сх, х) + (г(, х)], то к хе — решение линейной системы алгебраических уравнений (С + +С") х+и=О. Лемма (23]. Если х = агд!(С+ С')х = с(], грй А (С+ С*)й, А, = Р— А (С+ С*), й»е' = й»+ А й», А»ь~ = Азы то )) х— — й»))()) А„))т ~'))й)). Поэтому г(» эффективно приближается к искомому х с увеличением й.

Приведем ряд условий оптимальности, справедливых н для граничных точек множества Х. 2. Необходимые и достаточные условия оптимальиоетв для задачи выпуклого програмиировавяя. Теорема Купа — Таккера Напомним необходимые понятия выпуклого анализа. Пусть х', х' ~ Х. Функцию ! называют выпуклой на выпуклом множестве Х, если тЛ с (О, 1] !'(хл) (Ч (х') + (1 — Л) ((х') называютстрого выпуклой, если чЛ р )О, Н! (хл) (Ч(х') + (!в — Л)1 (х') н называютсильно вьтуклой, если при некотором сс .в О Р( 2' 1((Р(х')+Р(х'))/2 — а]х' — -')), х». Ь Лх' + (1 — Л) х'. Аналогично, множество Х называют выпуклым, если ЧЛ Е (О, !] хх р Х, называют строго выпуклым, если при Л Е (О, 1) хк является внутренней точкой Х, и называют сильно выпуклым, если прн не- котором и ) О открытое множество (х))) х — хк ] ( и ] х'— — х')) ппп (Л, 1 — Л)) принадлежит внутренности множества Х, Лс(О, 1). Утверждение 2.

Если функция 1 выпукла и дважды днфферен- цируема, то следующие условия эквивалентны: (1) 1(х') — !(х')) (Ч1(х'), х' — х'); (2) (с7 ! (х+ Лй), й) — неубывающая функция Л; (3) (Чрх~(х)й, й)~О Чх, йЕВ". Утверждение 3. Если ! — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то условие сильной выпуклости эквивалентно условию (Ч ! (х) й, й) -. а))й))з, в ~ О, х, й Е В"; сильно выпуклая достигает своего минимума на замкнутом множестве.

Естественно, выпуклая и даже строго выпуклая функция 1 может не достигать своего минимума на замкнутом Х. Утверждение 4. Строго выпуклая функция достигает своего минимума на выпуклом множестве Х лишь в единственной точке. Множество Хе всех решений выпукло и довольно просто опи- сывается с помощью конуса допустимых направлений. Множество К (х') называют конусом допустимых направлений для Х в точке х», если оно состоит из тех векторов Ь, для которых существует число е > О, удовлетворяющее условию х' + в)) с Х Утверждение 5.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее