Приложение З Определители

П.9. Определители

Определителем матрицы А_nn является функция от этой матрицы со скалярными значениями, определяемыми в виде суммы всех n! возможных произведений n её элементов, так что:

1. Каждое произведение содержит один элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы А.
2. Множители в каждом произведении записываются так, чтобы индексы столбцов появлялись в порядке возрастания и каждое произведение затем снабжается знаком плюс или минус в зависимости от того каково число инверсий в индексах строк, четное или нечетное. (Инверсия происходит, когда большее число предшествует меньшему.)

Определитель матрицы А обозначается det(A). Для больших матриц определители находятся, как правило, на компьютере. Некоторые калькуляторы также вычисляют определители.

Определители некоторых специальных квадратных матриц даны в следующей теореме.

Теорема П.9.1.

1. Если матрица D=диаг[d₁, d₂,…, d_n], то det(D)=.

2. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

3. Если матрица А вырожденная, то det(A)=0.

4. Если матрица А невырожденная, то det(A)≠0.

Рекомендуемые материалы

5. Если матрица А положительно определённая, то det(A)>0.

6. det(A^Т)=det(A).                                                                                          (П.9.1)

7. Если матрица А невырожденная, то det(A^–1)=1/det(A).                                   (П.9.2)

Доказательство: Докажем некоторые пункты.

4. Если квадратная матрица А положительно определённая, то по теореме П.6.4 её можно представить А=Р^ТР, где Р невырожденная. По теореме П.9.3 получаем

det(A)=det(Р^ТР)=det(Р^Т)det(Р)          [в силу (П.9.12)]

=det(Р)det(Р)     [в силу (П.9.1)]

=[det(Р)]²>0.

7.                                   det(A^–1A)=det(I)=1

det(A^–1)det(A)=1                   [в силу (П.9.12)]

det(A^–1)=1/det(A).

□

Пример П.9.1. Продемонстрируем каждый пункт теоремы П.9.1:

1. Диагональная матрица: det=(2)(3)–(0)(0)=(2)(3).

2. Треугольная матрица: det= (2)(3)–(0)(1)=(2)(3).

3. Вырожденная матрица: det= (1)(6)–(3)(2)=0,

4. Невырожденная матрица: det= (1)(4)–(3)(2)=–2.

5. Положительно определённая: det=(3)(4)–(–2)(–2)=8>0.

6. Транспонированная: det= (3)(1)–(2)(–7)=17,

det= (3)(1)–(–7)(2)=17.

7. Обратная матрица: =, det=10, det=0,1.

□

Применим пункт 1 теоремы П.9.1 для случая, когда все диагональные элементы равны числу c, то есть, D=диаг[с, с,…, с]=сI. Тогда

det(D)=det(сI)==cⁿ.                                          (П.9.3)

В более общем случае, если некоторая матрица размеров nxn умножается на скаляр, то её определитель находится так

det(сA)=cⁿdet(A).                                                     (П.9.4)

Нахождение определителя разделённой матрицы дано в следующей теореме.

Теорема П.9.2. Если квадратная матрица разделена на подматрицы в виде

А=                                             (П.9.5)

и если матрицы A₁₁ и A₂₂ квадратные и невырожденные, но необязательно одних размеров, то

det(A)=det(А₁₁)det(А₂₂–A₂₁A₁₁^–1A₁₂)                                  (П.9.6)

=det(А₂₂)det(А₁₁–A₁₂A₂₂^–1A₂₁).                                (П.9.7)

Доказательство: Пусть матрица В=. Тогда произведение

ВА=.

По следствию 1 теоремы П.9.2 определитель det(BA)=det(А₂₂–A₂₁A₁₁^–1A₁₂). По теореме П.9.3 определитель det(ВA)= det(В)det(A). По следствию 1 теоремы П.9.2 и, в силу (П.9.2), det(В) =det(A₁₁^–1)=1/det(A₁₁).

□

Обратим внимание на аналогию между (П.9.6) и (П.9.7) для случая определителя матрицы размеров 2х2:

det=а₁₁а₂₂–а₂₁а₁₂

=а₁₁(а₂₂–а₂₁а₁₂/а₁₁)

=а₂₂(а₁₁–а₁₂а₂₁/а₂₂).

Следствие 1. Положим A= или A=, где A₁₁ и A₂₂ квадратные подматрицы, но необязательно одних размеров, тогда в любом случае имеем

det(A)=det(А₁₁)det(А₂₂).                                          (П.9.8)

□

Следствие 2. Пусть матрица A=, где A₁₁ и A₂₂ квадратные подматрицы, но необязательно одних размеров. Тогда,

det(A)=det(А₁₁)det(А₂₂).                                          (П.9.9)

□

Следствие 3. Если матрица А разделена в виде , где A₁₁ - невырожденная подматрица, a₁₂ - вектор и a₂₂ - матрица размеров 1х1 или скаляр, то

det(A)=det=(а₂₂–а₁₂^ТA₁₁^–1а₁₂)det(А₁₁).             (П.9.10)

□

Следствие 4. Если матрица А разделена в виде , где с - вектор и B - невырожденная матрица, то

det(В+сс^Т)= (1+с^ТВ^–1с)det(В).                                 (П.9.11)

Доказательство: Пусть А₁₁=В, А₂₂=1, А₂₁=с^Т и А₁₂=с. Затем приравняем правые части (П.9.6) and (П.9.7) и сделаем соответствующие подстановки, чтобы получить

det(1)det(В–с1^–1с^Т)=det(В)det(1–с^ТВ^–1с).

□

Нахождение определителя произведения двух квадратных матриц описано в следующей теореме.

Теорема П.9.3. Если А и В квадратные матрицы одинаковых размеров, то определитель их произведения равен произведению их определителей:

det(AВ)=det(A)det(В).                                            (П.9.12)

□

Следствие 1.

det(AВ)=det(ВA)                                                     (П.9.13)

Доказательство: det(AВ)=det(A)det(В)=det(В)det(A)=det(ВA).

2. Солнечная радиация - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

□

Следствие 2.

det(А²)=[det(А)]²                                                      (П.9.14)

Доказательство: det(А²)= det(АА)=det(A)det(А)=[det(А)]²

□

Пример П.9.2. Поясняя теорему П.9.3, пусть матрицы А= и В=. Тогда имеем АВ=, det(AВ)=–16, det(A)=–2, det(В)=8 и det(A)det(В)=–16.