Приложение А Обозначения векторов и матриц

Приложение:  Элементы матричной алгебры

В приложении рассматриваются элементы теории матриц, используемые в статистических методах. Приводятся доказательства только того, что представляется полезным. Другие доказательства можно найти в [Searle (1982), Harville (2008), Schott (2016), Беклемишев (2006)], а также в других книгах по теории матриц.

П.1. Обозначения векторов и матриц

Матрицы, векторы и скаляры

Если линейную модель (2.5.5) записать для каждого из n опытов эксперимента, то n полученных моделей можно представить системой уравнений

.                           (П.1.1)

Эту систему уравнений можно записать в компактном матричном виде

у=Xq+e,

где у=, X=, q = и e=. На основе данных эксперимента с помощью теории матриц можно оценить параметры этой модели и осуществить её статистическую проверку.

Рекомендуемые материалы

Матрицей является прямоугольная или квадратная таблица чисел или переменных. Для обозначения матриц используются заглавные буквы жирным шрифтом. Все рассматриваемые здесь элементы матриц - действительные числа или переменные, значения которых - действительные числа. Для представления элементов матрицы А в виде переменных используются следующие обозначения:

А=(a_ij)=.                                      (П.1.2)

Первый подстрочный индекс i в обозначении a_ij указывает номер строки, а второй j – номер столбца. Обозначение А=(a_ij) представляет матрицу её типичным элементом.

Одно действительное число называется скаляром, то есть 2,5, –9 и 7,26 - скаляры. Переменная, имеющая скалярные значения, будет обозначаться строчной буквой, например, с.

Чтобы подчеркнуть, что матрица А имеет п строк и р столбцов, то есть имеет размеры пхр, иногда будем писать А=А_пр. Матрицу А₁₁=(а₁₁) будем отождествлять со скалярным числом а₁₁.

Вектор является матрицей, состоящей из одного столбца элементов. Элементы вектора могут иметь один подстрочный индекс, например,

х=.

Для обозначения вектора столбца используется строчная буква жирным шрифтом, например х, а для обозначения вектора строки используется строчная буква жирным шрифтом с подстрочным символом с, например х_с. Вектор строка может быть получена транспонированием вектора столбца, например, х^Т= [х₁, х₂, х₃] = [x₁ x₂ x₃], где ^Т - символ транспонирования. Для разделения элементов вектора используются запятые или пробелы.

Элементы вектора размеров рх1 могут рассматриваться как координаты конца геометрического вектора в пространстве р измерений, если начало этого вектора находится в начале координат.

Две матрицы или два вектора равны, если они одинаковых размеров и их элементы в соответствующих позициях равны, например,

=, но ≠.

Транспонирование

Если в матрице А поменять по порядку местами строки и столбцы, то в результате получится транспонированная матрица обозначаемая А^Т. Так, если А определяется A=(a_ij), то А^Т определяется в виде

А^Т=(a_ij)^Т=(a_ji).                                                           (П.1.3)

Это обозначение указывает, что элемент в i-й строке и j-м столбце матрицы А находится в j-й строке и i-м столбце матрицы А^Т. Если матрица А размеров pxn, то матрица А^Т имеет размеры nxp.

Если матрица транспонируется два раза, то получается исходная матрица.

Теорема П.1. Если А - любая матрица, то

(А^Т)^Т=А.                                                        (П.1.4)

Доказательство: В силу (П.1.3), А^Т=(a_ij)^Т=(a_ji). Тогда (А^Т)^Т=(a_ji)^Т=(a_ij)=А.

□

Матрицы специального вида

Если транспонированная матрица А является такой же, как и исходная матрица, то есть, если А^Т=А или, что то же самое, (a_ji)=(a_ij), то матрица А является симметричной. Например, матрица

А=

симметричная. Очевидно, что все симметричные матрицы квадратные.

Диагональ квадратной матрицы А=А_рр состоит из элементов a₁₁, a₂₂, ..., a_рр

А=.

Если матрица содержит нули во всех позициях за пределами диагонали, то это диагональная матрица. Например, диагональная матрица

D=

обозначаться также в виде

D=диаг(8, –3, 0, 4).

Диагональная матрица с диагональными элементами равными 1 называется единичной матрицей и обозначается I, например,

I=.                                                (П.1.5)

Верхняя треугольная матрица представляет собой квадратную матрицу с нулями ниже диагонали, например,

Т=.

Нижняя треугольная матрица является квадратной матрицей с нулями выше диагонали.

"4.1 Доарийский период - индская цивилизация" - тут тоже много полезного для Вас.

Вектор, все элементы которого равны 1, обозначим единицей жирным шрифтом:

1=.                                                          (П.1.6)

Квадратную матрицу, все элементы которой равны 1, обозначим Е, например,

Е=.                                                 (П.1.7)

И наконец, вектор нулей обозначим 0 и матрицу нулей обозначим O, например,

0= и О=.                                           (П.1.8)