Комплексные числа

19. Теория функций комплексной переменной.

19.1. Комплексные числа.

            19.1.1. Определение комплексного числа.

Опр.19.1.1. Комплексным числом  будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

            Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

            Опр.19.1.2. Два комплексных числа  и  равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

            Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

            Геометрически комплексное число  изображается как точка с координатами  на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.

Рекомендуемые материалы

Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. , .

            Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. .

            Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью  и  получим , , т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом , равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел С. Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида  , называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как : ; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.19.1.1 свойство "мнимой единицы". 

Легко убедиться, что операция сложения  на множестве комплексных чисел  имеет свойства, аналогичные аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):

I.1. ;

I.2.  ;

I.3. Существует такой элемент , что  для . Этот элемент - число .

I.4. Для каждого элемента  существует такой элемент , что . Этот элемент - число . Сумма чисел  и  называется разностью чисел  и : .

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.19.1.5. Число  называется числом, сопряжённым к числу . Часто сопряжённое число обозначается также символом .

Опр.19.1.6. Действительное число  называется модулем комплексного числа .

Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z; модуль разности чисел  и  равен расстоянию между этими точками: .

Найдём произведение сопряжённых чисел:  . Таким образом,  - всегда неотрицательное действительное число, причём .

Для нахождения частного комплексных чисел  домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .

                Для операции умножения справедливы свойства

II.1. ;

II.2. ;

II.3. Произведение числа  на любое число  равно ;

II.4. Для каждого числа  существует такое число , что , ;

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

III.1. .

            Операция сопряжения имеет следующие свойства:

IV. .

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть , . Тогда ;  ; .

19.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число  как точку на плоскости с декартовыми координатами . Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол  называется аргументом комплексного числа  и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные   и т.д. тоже будут соответствовать числу , поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям , будем называть главным;  для обозначения всех значений аргумента комплексного числа  применяется символ : .

Запись комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой числа.

Число - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.

Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:

При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , , , , . Решение: , , , , .

Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости С вместе с точкой  точку . Из рисунка понятно, что , поэтому .

В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , , . Тогда

.

Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если , то , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции  сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для :  

Степени числа :   далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо:   и т.д.). Поэтому  . В круглых скобках стоят ряды для  и , которые сходятся для любого действительного ; поэтому получаем . Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число  можно представить как ; эта форма записи называется показательной. В этой форме умножение и деление комплексных чисел выполняются и интерпретируются также легко, как и в тригонометрической:

;

.

            Индукцией по показателю степени  легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

; в качестве второго примера выведем формулы для  и : если , то, по формуле бинома Ньютона,

=

. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня -ой степени из комплексного числа . По определению, любое число , такое, что  , называется корнем -ой степени из числа . Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому , , откуда , , при этом  различных значения корня -ой степени из числа  получаются при .

Пример: найти все значения . Число  в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой  при . Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее , имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

19.1.4. Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка. Риман предложил применять для геометрического представления комплексной плоскости сферу. Вместе с координатами х, у в плоскости Z рассмотрим трёхмерную прямоугольную систему координат , такую, что оси  совпадают с осями х, у, а ось  им перпендикулярна. Поместим в это пространство сферу единичного диаметра , касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным полюсом. Каждой точке  поставим в соответствие точку  сферы, получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие  взаимно однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой точкой - северным полюсом N. Такое соответствие  называется стереографической проекцией.

Пополним комплексную плоскость С новым объектом - бесконечно удалённой точкой , которую будем считать образом северного полюса N при стереографической проекции. Такую пополненную плоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью и обозначать . Если не прибегать к стереографической проекции, то несобственная точка  рассматривается как единственная предельная точка любой последовательности  комплексных чисел таких, что , независимо от того, по какому пути точки последовательности удаляются от начала координат.

                19.1.5. Задание кривых и линий на комплексной плоскости.

Так как  равен расстоянию между точками z и z₀, то

            1.  - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z₀.

                2.  - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z₀, включающий свою границу.

            3.  - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z₀; круг не включен в эту область.

            4. - эллипс, построенный на z₁ точках и z₂, рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая - ) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются соответствующими неравенствами.

            5.  - гипербола с фокусами в точках z₁ и z₂; расстояние между фокусами 2с= , между вершинами 2а (рис.2). Уравнение  даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе к фокусу z₂; неравенство  - открытую область, содержащую фокус z₁ и ограниченную  соответствующей ветвью гиперболы.

            6.  (или  - прямая, параллельная оси Оу.  - область, лежащая справа от этой прямой (включая прямую);  - область слева от прямой (прямая не включена в область).   (или  - прямая параллельная оси Ох; ,  - области, расположенные выше и ниже этой прямой.

            7.   - луч, выходящий из точки  под углом  к оси Ох.  - луч, выходящий из точки  под углом  к оси Ох.  - область, расположенная между лучами, выходящими из точки  (рис. 3.).

Ещё посмотрите лекцию "Хубилай-хан, Жайылбатыр, В. Бартольд" по этой теме.

            Пример построения области на комплексной плоскости, заданной системой неравенств:

поэтому   - замкнутый круг радиуса 3 с центром в точке . Неравенство  даёт область, находящуюся справа от правой ветвью гиперболы с полюсами , включающую эту ветвь. Параметры гиперболы: . Последнее неравенство определяет полуплоскость . В результате получаем заштрихованную область, изображённую на рисунке справа.

            19.1.6. Окрестности точек плоскости . Под - окрестность точки  понимается открытый круг радиуса  с центром в точке : . Проколотая окрестность точки  - любая ее окрестность, из которой исключена сама точка : .  - окрестность несобственной точки  - это внешность круга радиуса  с центром в начале координат (включающая саму точку ): . Проколотая - окрестность точки  - множество .