Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты

Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.

                19.7.1. Нули аналитической функции.

            Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции , если , но .

            Пример. Пусть . Точка  - нуль этой функции, так как . Найдём порядок нуля:  ,   . Первая отличная от нуля производная функции в точке  - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .

            Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция  имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция  представлялась в виде , где  - аналитическая в точке а функция, и.

            Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции , т.е. , и . Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид ,  где  - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что у ряда для ) функция, .

            Достаточность. Пусть , где  - аналитическая функция, и. Находим производные этой функции по формуле Лейбница : ; ; ………………………….; ; , что и требовалось доказать.

            Из этой теоремы следует, что если многочлен  разложен на множители , то корни  являются нулями функции  кратностей, соответственно, .

            19.7.2. Изолированные особые точки.

Рекомендуемые материалы

            19.7.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки, в которой  аналитична во всех точках, за исключением точки а.

            Рассмотрим разложение функции  в ряд Лорана  в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.

1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: .

В этом случае особая точка а называется устранимой.

2. Главная часть содержит конечное число членов:

В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях - кратным.

3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой.

19.7.2.2. Признаки особых точек по значению .

1. Для того, чтобы особая точка  была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел .

Док-во. Выпишем разложение  в ряд Лорана: . Очевидно, что  может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е.  - устранимая особая точка. В этом случае .

2. Для того, чтобы особая точка  была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел .

Докажем теорему, из которой следует это утверждение.

Теорема. Для того, чтобы особая точка  была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки  представлялась в виде , где  аналитическая в точке а функция, .

Док-во. Необходимость. Пусть  имеет в точке  была полюс n-го порядка, т.е. . Преобразуем это выражение: . Обозначим  сумму ряда, стоящего в скобках: .

Ряд Лорана функции  сходится в некотором кольце . Пусть точка  принадлежит этому кругу. Ряд для  сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для  только постоянным множителем ; по теореме Абеля ряд для  сходится в круге , и  аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.

            Достаточность. Пусть , где  аналитическая в точке а функция, . Разложим  в ряд Тейлора: . Тогда , т.е. главная часть ряда Лорана функции  начинается с члена , где , т.е. точка  - полюс n-го порядка.

            Следствие. Точка  - полюс n-го порядка функции  тогда и только тогда, когда существует конечный .

            Теорема о связи нулей и полюсов. Функция  имеет в точке  - полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция  имеет в этой точке нуль n-го порядка.

            Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок полюса. Так, мы доказали, что функция  имеет в точке 0 нуль пятого порядка. Поэтому функция  имеет в этой точке полюс пятого порядка.

3. Мы доказали, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) . Поэтому в существенно особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую мы приведём без доказательства:

В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция  принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного).

            19.7.3. Вычет аналитической функции в особой точке. Пусть функция  аналитична в области D за исключением точки a. Разложим  в окрестности этой точки в ряд Лорана:

Коэффициент  называется вычетом функции  в точке а и обозначается . Если  - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.6.3. Ряд Лорана),  .

            19.7.3.1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.

Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, =0.

            19.7.3.2. Вычеты в полюсах.

            19.7.3.2.1. Если а - простой полюс функции , то .

                Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени: . Тогда , и .

            19.7.3.2.2. Пусть , где  и  - аналитические в окрестности точки а функции. Если а - простой нуль функции , и , то .

            Док-во. Если а - простой нуль функции , и , то а – простой полюс функции . Тогда, по предыдущему утверждению,  .

19.7.3.2.3. Если а - полюс функции  n-го порядка, то .

            Док-во. Так как точка  - полюс n-го порядка функции , то. . Для того, чтобы удалить особенность в точке а, умножим  на : . Теперь, чтобы убрать первые члены этой формулы и добраться до , дифференцируем это произведение n-1 раз: ,

,

……………………………………………………………………………………………………………………….,

, , откуда и следует доказываемая формула.

19.7.3.3. Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.

19.7.3.4. Примеры нахождения вычетов.

1. .

Эта функция имеет единственную особую точку - . Функция  при  - бесконечно малая второго порядка,  - четвертого, поэтому можно предположить, что существует конечный , т.е.  - устранимая особая точка. Доказываем строго:    - устранимая особая точка.

Можно решить эту задачу по-другому. Так как , то , . Понятно, что разложение этой функции по степеням z не будет содержать членов с отрицательными степенями, т.е.  - устранимая особая точка.

            2. .

            Особая точка - . Разлагаем функцию в ряд по степеням :  , ,  

. Разложение содержит бесконечное количество слагаемых с отрицательными степенями , следовательно,  - существенно особая точка. .

3. .

Особые точки – те, в которых . Эти точки являются простыми нулями знаменателя, так как . Числитель , поэтому точки  - простые полюса. Вычеты находим по формуле : .

4. .

Особые точки – те, в которых . В этих точках предел знаменателя ; во всех точках , за исключением , числитель отличен от нуля, поэтому , следовательно, эти точки – полюса. Для определения порядка этих полюсов найдём порядок нуля знаменателя: , следовательно, эти полюса имеют второй порядок (при ). В точке  функция представляет собой неопределённость , однако, если вспомнить, что , эта неопределённость раскрывается просто: , т.е. функция имеет конечный предел, следовательно,  - устранимая особая точка.

Вычет в устранимой особой точке равен нулю, поэтому . В остальных точках применяем формулу  при n=2:  (меняем переменную  )=

   (к последнему пределу применяем правило Лопиталя) .

                19.7.4. Основная теорема о вычетах. Пусть функция  аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек , расположенных внутри L. Тогда .

            Док-во. Окружим каждую особою точку , контуром  таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, , функция аналитична, поэтому по 19.5.2.2. Теореме Коши для многосвязной области 

. По определению вычета, , следовательно, , что и требовалось доказать.

Примеры вычисления интегралов с помощью основной теоремы о вычетах.

1. , где L - квадрат .

            Обе особые точки подынтегральной функции -  и  - расположены внутри контура L, поэтому . Точка  -полюс первого порядка, . Точка  - нуль первого порядка и для числителя, и для знаменателя; докажем, что это - устранимая особая точка подынтегральной функции. Пусть , тогда , и , конечный предел существует, поэтому, действительно, это - устранимая особая точка, и . По основной теореме о вычетах .

2. . В примере 2 раздела 19.7.3.4. Примеры нахождения вычетов мы доказали, что точка  - существенно особая точка подынтегральной функции, и , поэтому .

            3. . Здесь подынтегральная  функция  имеет две особых точки, расположенных в области, находящейся внутри контура:  (простой полюс) и  (полюс второго порядка). ,  ; .

            4. . Внутри контура расположена одна особая точка подынтегральной функции : . Это - существенно особая точка, поэтому для нахождения вычета необходимо найти коэффициент  разложения  в ряд Лорана в окрестности этой точки. ; .

, однако нет необходимости выписывать произведение этих рядов, достаточно только собрать те попарные произведения, которые дают минус первую степень переменной : . Легко сообразить, что это ряд для  при , т.е. , и .

            19.7.5. Бесконечно удалённая особая точка. Будем считать точку  особой точкой любой аналитической функции. В разделе 19.1.6. Окрестности точек плоскости  мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: . Точка  является изолированной особой точкой аналитической функции , если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка  переходит в точку , функция  примет вид . Типом особой точки  функции  будем называть тип особой точки  функции . Если разложение функции  по степеням  в окрестности точки , т.е. при достаточно больших по модулю значениях , имеет вид , то, заменив  на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки  определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням  в окрестности точки . Поэтому

1. Точка  - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена );

2. Точка  - полюс n-го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым ;

3. Точка  - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.

При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если  - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если  - полюс, то этот предел бесконечен, если  - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный).

Примеры: 1. . Функция уже является многочленом по степеням , старшая степень - шестая, поэтому  - полюс шестого порядка.

Рекомендация для Вас - Архитектура клиент-сервер.

Этот же результат можно получить по-другому. Заменим  на , тогда . Для функции  точка  - полюс шестого порядка, поэтому для  точка  - полюс шестого порядка.

2. . Для этой функции получить разложение по степеням  затруднительно, поэтому найдём : ; предел существует и конечен, поэтому точка  - устранимая особая точка.

3. . Правильная часть разложения по степеням  содержит бесконечно много слагаемых, поэтому  - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что  не существует.

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке. Для конечной особой точки  , где  - контур, не содержащий других, кроме , особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке). Определим  аналогичным образом: , где  - контур, ограничивающий такую окрестность  точки , которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура . Изменим направление обхода контура : . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно, , т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком. Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов: если функция  аналитична всюду в плоскости С, за исключением конечного числа особых точек , то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.

            Отметим, что если  - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ;  - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е.  - устранимая особая точка.