Дифференцируемость функции комплексной переменной

Дифференцируемость функции комплексной переменной.

19.3.1. Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть  определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции  в точке называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление  может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной  не сводится к существованию частных производных функций  и , а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.

Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Примеры. 1. . В этом случае  . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z.

2.  Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке . Будем стремить  по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае ), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае ). В первом случае , во втором . Эти пределы равны, только если  . Таким образом, функция   может быть дифференцируема в единственной точке , во всех остальных точках пределы   различны в зависимости от способа стремления , т.е.  не существует.

19.3.2. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.

Рекомендуемые материалы

Для того, чтобы функция  была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были дифференцируемы  в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения

.

Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция  не имеет производных в точках : подойдём к точке z двумя путями - по направлениям  () и  ().

В первом случае:

.

Во втором случае: (напомню, что )

. Пределы должны быть равны, поэтому .

Достаточность. По предположению теоремы, функции  дифференцируемы в точке (х,у), поэтому  где ,

 - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е. , . Найдём .  .

Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с : ; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим  на ,  на ; тогда . Отсюда следует, что существует , т.е. функция дифференцируема в точке (х,у).

            Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа:  (в точках, где .

            19.3.3. Примеры вычисления производных.

            1. Выше мы доказали, что функция  имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так как , то . Тогда .

2. Для функции  мы получили  Поэтому , т.е. функция дифференцируема. .

            19.3.4. Геометрический смысл производной. Равенство  означает, что , где . Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать , пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует . Возьмём точки  и ; пусть , тогда . таким образом,  в  больше ,  больше  на для любого  (с точностью до бесконечно малых высшего порядка).  Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой , отображение  действует следующим образом: любой вектор  растягивается в  раз и поворачивается на угол .

            19.3.5. Конформность дифференцируемого отображения.

            Пусть через точку z проходят две гладкие кривые  и , касательные  и  к которым образуют с осью Ох углы, соответственно,  и . Образы этих кривых   и  при дифференцируемом отображении  имеют касательные  и , образующие с действительной осью Ou углы  и . Согласно предыдущему пункту, , , т.е. . Таким образом, дифференцируемое отображение при  сохраняет углы между кривыми. Сохраняется и направление отсчёта углов (т.е. если  >, то >).

Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов), называется конформным. Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование называется конформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется на противоположное, то преобразование называется конформным преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой области G функция  осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля.

Пример конформного отображения второго рода - недифференцируемая функция .

19.3.6. Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана  по переменной х, второе соотношение  по переменной у, получим , т.е.  ( - оператор Лапласа), т.е.  - гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной у, второе соотношение по переменной х, получим , т.е.  , т.е.  - тоже гармоническая функция. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями.

Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции  существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция , т.е. такая функция, что  - аналитическая функция; и наоборот, для любой гармонической  существует сопряжённая с ней гармоническая . Пусть, например, дана , обозначим . Эти функции удовлетворяют условию , т.е. векторное поле  потенциально. Функцию  можно найти теперь из системы  (как это делается при решении уравнения в полных дифференциалах , и как потенциальную для поля  функцию .

В качестве примера рассмотрим задачу, аналогичную задаче 5 из домашнего задания. Может ли функция  быть мнимой частью некоторой аналитической функции ? В случае положительного ответа найти функцию .

Решение. Докажем, что  - гармоническая  функция.

 , т.е.  - гармоническая  функция и, следовательно, может являться мнимой частью аналитической функции.

            Найдём эту функцию. Для действительной части  справедливы соотношения

для нахождения  используем второе уравнение системы:  .

Ещё посмотрите лекцию "15. Работа с конфиденциальными документами" по этой теме.

            Формально мы можем выписать , но толку в этой записи нет, так как не видна зависимость f от z. Поэтому сделаем по-другому. Выпишем производную : . На действительной оси (при у=0, т.е при) функция  превращается в функцию действительной переменной , её производная - в . Положим в  у=0, x=z:  ; проинтегрировав это выражение, получим .

            Техника нахождения неопределённых интегралов в теории функций комплексной переменной в основном та же, что и в математическом анализе; таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова, поскольку одинакова таблица производных. Поэтому

  , где С – произвольная вещественная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования будет действительной, если по условию задачи задана функция , и с точностью до произвольной постоянной находится действительная часть  функции ; если же задана функция , то и с точностью до произвольной постоянной интегрирования находится мнимая часть , т.е постоянная будет чисто мнимым числом  (произвольное вещественное число).

            Проверим полученный результат. Если , то   ;

; условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция  - аналитическая на всей комплексной плоскости функция.

            Во всех этих рассуждениях мы проигнорировали вопрос о том, имеют ли функции u и v производные порядка выше первого? (Существование первых производных следует, как мы видели, из дифференцируемости f(z)). Дальше мы докажем, что, в отличие от действительного случая, ФКП обладает удивительным свойством - если она аналитична в некоторой области (т.е. в каждой точке этой области имеет первую производную), то она бесконечно дифференцируема в этой области (т.е. в каждой точке этой области она имеет производную любого порядка). Как следствие, функции u и v тоже бесконечно дифференцируемы.