Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности
Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.
Число а называется пределом числовой последовательности при если для любого Е>0 существует натуральное число N(E), такое, что для любых n>N(E) выполняется условие , записывают .
Числовая последовательность монотонно не убывает (не возрастает) при , если для выполнено .
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Лекция 8.
Признак: если числовая последовательность при , монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом A (B), тогда она сходится и её предел не больше, чем A (не меньше, чем B)
Если последовательность , при имеет конечный предел, то он единственный .
Доказательство: Пусть имеет 2 предела a и b при . Пусть для определённости a>b .
;
.
N=max(N1;N2) эти неравенства выполняются одновременно, чего быть не может, т.к. по определению E окрестность точки а содержит все члены последовательности, и E окрестность точки b содержит все члены последовательности все члены не могут быть одновременно в 2 окрестностях, т.к. они не пересекаются.