Доказать второе достаточное условие экстремума
2020-06-032021-03-09zzyxelСтудИзба
Доказать второе достаточное условие экстремума.
Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.
Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.
, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.