Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных
Если правая часть уравнения L(y)=f(x) не принадлежит ни к одному из рассмотренных в таблице 2 типов, то следует применять метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим его реализацию для дифференциальных уравнений второго порядка:
(2.40)
Сначала находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения в виде
(2.41)
где и - произвольные постоянные, - частные линейно независимые решения однородного уравнения.
Далее ищется решение неоднородного уравнения (2.40), по структуре, аналогичное (2.41), но произвольные постоянные в (2.41) заменяются неизвестными функциями, а именно принимается
(2.42)
Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
Рекомендуемые материалы
(2.43)
в которой первое уравнение вводится произвольно. Определитель этой системы - определитель Вронского
так как функции и линейно независимы. Поэтому система (2.43), рассматриваемая как система линейных алгебраических уравнений относительно , имеет решение и притом единственное. Оно представляется в виде
(2.44)
Интегрируя дифференциальные уравнения первого порядка (2.44), находим
(2.45)
Подставляя (2.45) в (2.42), получим общее решение неоднородного уравнения в виде
(2.46)
Пример. Решить уравнение
(2.47)
1). Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
Составляем характеристическое уравнение Его корни Следовательно, частные линейно независимые решения равны ( см. таблицу 1, случай 3а )
а общее решение
2). Так как правая часть неоднородного уравнения (2.47) не относится ни к одному из рассмотренных в таблице 2 случаев, то частное решение находим методом вариации произвольных постоянных. Принимаем
(2.48)
Тогда и могут быть найдены из решения системы (2.43)
Определитель этой системы
В лекции "40 Советы и политика Временного правительства" также много полезной информации.
Поэтому выражения (2.44) принимают вид
(2.49)
Интегрируя уравнения (2.49), получим
(2.50)
Подставляя (2.50) в (2.48), находим общее решение уравнения в виде