Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка
Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка).
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка представляется в виде линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:
(2.31)
Здесь - произвольные постоянные (заметим, что линейной комбинацией функций называется сумма произведений функций на различные постоянные числа, то есть выражение вида
- частные линейно независимые решения уравнения - такие решения, для которых определитель Вронского
N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
Рекомендуемые материалы
Для построения фундаментальной системы решений уравнения с постоянными коэффициентами его частные решения ищутся в виде показательных функций
(2.32)
где k - неизвестные постоянные числа. Подстановка (2.32) в дифференциальное уравнение (2.29) приводит к алгебраическому уравнению вида
(2.33)
Алгебраическое уравнение (2.33) той же степени, что и порядок дифференциального уравнения (2.29) называется характеристическим уравнением.
Заметим, что уравнение (2.33) получается из уравнения (2.29) формальной заменой i - ой производной числом .
Характеристическое уравнение (2.33) имеет n корней (с учетом их кратности). В зависимости от вида корней соответствующие частные линейно независимые решения будут иметь различный вид (см. таблицу 1).
Вид частных решений линейного однородного уравнения L(y)=0 в зависимости от вида корней характеристического уравнения
Таблица 1
Вид корней | Вид частных решений | ||
1 | Корни действительны и различны | ………………………… | |
2a | Комплексные корни | , | |
2б | Мнимые корни | ||
3а | Кратные действительные корни |
………………………………
| |
3б | Кратные комплексные корни кратности m, кратности m | , , …………………………………………… | Классификация строительных материалов - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию. , , ……………………………………… |
Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n - го порядка может быть получено или методом подбора ( методом неопределенных коэффициентов ) или методом вариации произвольных постоянных.