Разделенные разности. Многочлен Ньютона
Разделенные разности. Многочлен Ньютона.
Вступление: схема Эйткена, формулы вычисления производных, используют разности значений функций, деленные на расстояния между узлами. Похожие формулы называют разностными методами.
Опр. Назовем разделенными разностями 0-го порядка значения f(xi).
Назовем разделенными разностями 1-го порядка:
.
Назовем разделенными разностями 2-го порядка:
.
Назовем разделенными разностями порядка l:
.
Рекомендуемые материалы
Для вычисления всех разделенных разностей используют таблицу, как в схеме Эйткена:
Лемма 1.(без док-ва)
.
Опр. Интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями называется
.
Теорема 2.
Многочлен Ньютона совпадает с многочленом Лагранжа.
Док-во:
1)
где Lk(x) — многочлен Лагранжа степени k по узлам x0,...,xk.
2) .
3) Покажем, что для любого k выполняется .
По определению многочлена Лагранжа
Рекомендация для Вас - 9.1 Февральская революция.
. Теорема доказана.
Замечание: если x0 < x1 < … < xn , то
— интерполяционный многочлен для интерполяции вперед;
— интерполяционный многочлен для интерполяции назад.