Параболическая регрессия

§ 11.  Параболическая  регрессия

Уравнение параболической регрессии  имеет вид

.

Если использовать метод наименьших квадратов (МНК), то для коэффициентов составляется  и решается нормальная система линейных уравнений с матрицей       

Входящие сюда величины подсчитываются по данным наблюдений.

Левая часть – это средние значения различных степеней фактора Х.  Правая – это средние значения произведений:

     или    

Посчитывая эти числа и решая систему уравнений, находим коэффициенты регрессии.

Рекомендуемые материалы

Можно подсчитывать каждую из этих величин в отдельности.  Но можно применить для этого и другой способ, матричный. При этом вся матрица коэффициентов системы подсчитывается сразу.

Для этого сначала нужно сформировать исходные данные в виде матриц

Для фактора Х эта матрица состоит из трех столбцов:

¨ столбец из единиц;

¨ столбец собственно Х;

¨ столбец квадратов.

Здесь величины записаны точно так же, как и в уравнении регрессии:

Теперь исходные данные собраны в двух матрицах. Это матрица X. и матрица  Y.

Матрица  нормальной системы вычисляется произведением матриц    

где     - транспонированная  матрица.

Столбец правых частей нормальной системы вычисляется как произведение матриц

Если и неизвестные коэффициенты сформировать в матрицу

то сама система тоже может быть записана в матричном виде.

.

Но тогда естественно и решение получить в матричной записи, в виде обратной матрицы:

Замечание:  

Если строить уравнение регрессии в виде многочлена

и при этом использовать матричный способ составления и решения нормальной системы, то формулы нисколько не изменятся, только матрица Х исходных данных будет содержать уже n столбцов.

Проверка  адекватности квадратичного уравнения регрессии

Проводится по критерию Фишера

ъ

Проводится сравнение двух дисперсий: исправленной дисперсии фактора Y и дисперсии остатков 

· исправленная дисперсию  Y : 

· дисперсия остатков:                   .

                 - число коэффициентов в уравнении регрессии, т.е. сейчас 3.

Подсчитанной наблюдаемое значение критерия Фишера сравниваем с найденным из таблиц критическим значением. Для пользования таблицами задаем уровень значимости и числа степеней свободы:

Чем больше  F _набл  по сравнению с F _кр ,  тем выше адекватность .  Сравнивая,  делаем вывод об адекватности  (или  неадекватности) построенной корреляционной  модели  причем оцениваем и  степень адекватности.

ИНСТРУКЦИЯ  К  ЛАБОРАТОРОЙ  РАБОТЕ 

Анализ монопольного рынка

Введение 

Имеются  статистические данные  для цены  P  и для  спроса   D  на монопольный товар. Требуется рассчитать оптимальные цены,  при которых

 будут максимальными доход  или  прибыль.

Если описать зависимость спроса D от цены P теоретической формулой D(P), то с помощью этой теоретической зависимости можно будет исследовать зависимость дохода  Z  и прибыли  F  от цены P .

Примем квадратичную зависимость D(P):

D(P) =a ₂·P ² + a ₁·P + a ₀

Тогда величина дохода Z  равна произведению цены P на объем реализованного спроса: 

Z = P·D(P) = a ₂·P ³ + a ₁·P ² + a ₀·P .

Прибыль  F  от реализации товара равна разности  дохода  Z  и издержек  G:

F = Z – G

В свою очередь, издержки G состоят из постоянных (C) и переменных затрат (V·D), которые пропорциональны объему произведенной продукции  (V – затраты на единицу продукции):

G = C  + V · D.

         Таким образом, для прибыли получаем формулу:

F = P·D(P) - [C+V·D(P)] = a ₂·P ³ + (a ₁ -Va ₂) ·P ² + (a ₀ - Va ₁) · P + (–C – Va ₀)

Чтобы найти величину цены, при которой максимальны доход или прибыль, нужно взять производную от них по цене  P приравнять ее нулю:

и

Решая эти квадратные уравнения и выбирая из двух корней то значение, которое соответствует  максимуму, находим значение цены, при которой максимальны доход или прибыль.

Рассмотрим также величину, называемую коэффициентом эластичности спроса:

 .

Это число показывает, на сколько процентов изменяется спрос D при росте цены на 1% .

         Так как цена P и спрос D всегда положительны, знак K _d  определяется знаком производной.  Для подавляющего большинства товаров спрос падает с ростом цены, и значит производная  D^′_p отрицательна.  А значит, отрицательным будет и  коэффициент эластичности.

Существует такое понятие, как эластичность и неэластичность спроса. При этом характер спроса определяется реакцией дохода на изменение цены.

Определение:

¨ спрос неэластичен, если с ростом цены доход тоже растет;

¨ спрос   эластичен,   если с ростом цены доход убывает.

Рост или убывание дохода определяется знаком производной :

В зависимости от величины коэффициента эластичности K _d

возможны следующие случаи:

1.  .  Производная   > 0   Þ  с ростом цены  несмотря на

     снижение спроса  доход продолжает расти.        Спрос неэластичен. 

2.   .  Производная   < 0   Þ   с ростом цены доход падает.

                                                                                                     Спрос эластичен. 

3.        .       Производная   = 0   Þ           Доход максимален.

Для  выполнения работы необходимо :

1.  Построить по имеющимся статистическим данным корреляционное

     поле и найти выборочные числовые характеристики.

2.  С использованием возможностей пакета Excel построить

     квадратичную корреляционную зависимость спроса от цены. Найти

     коэффициенты параболической регрессии.

3.  Подсчитать и  проанализировать остатки.

4.  Построить зависимости  спроса,  дохода,  и прибыли от цены.

5.  Рассчитать оптимальную цену, при которой будут максимальными

     доход или прибыль.

6.  Для цены, обеспечивающей максимальную прибыль, рассчитать

     соответствующие значения спроса, дохода  и прибыли.

Исходные данные к  лабораторной работе 

1.  Корреляционное поле и выборочные числовые характеристики.

· Из таблицы исходных данных выбрать свой номер варианта. Столбец цен P у всех один и тот же, столбец спроса D –  выбирается по номеру варианта.

· Занести исходные данные (выборку) в отведенные ячейки: (столбцы K, L). Каждому из этих столбцов дать имя, (напр. P,D ).

· По исходным данным построить корреляционное поле с помощью «Мастера диаграмм» ,   «Точечная диаграмма ».

· По выборке найти ее объем   n  (ячейка  L23)

    (функция   СЧЕТ). Ячейке  присвоить имя  (например   "объем"  или  n).

· в отведенных для этого ячейках  25, 27 и  30 строк  подсчитать числовые характеристики  факторов   P  и  D:

¨ средние                             (СРЗНАЧ)

¨ дисперсии                         (диспр)

¨ стандартные отклонения  ( )

    ячейкам  присвоить соответствующие имена (Напр. Pср,  Dср;  Dp,  Dd; Sp, Sd).

2. Построение параболической регрессии.

Определение коэффициентов параболической  регрессии

· Уравнение параболической регрессии  имеет вид  . Для коэффициентов составляется  и решается нормальная система линейных уравнений с матрицей       

Но в пакете Excel можно найти эти коэффициенты гораздо быстрее.        Активизируем точки на корреляционном поле, правой кнопкой мыши вызываем контекстное меню и выбираем “построение линие тренда”.  Выбираем квадратичную регрессию и выводим на график уравнение и значение коэффициента детерминации.

· В отведенном поле записываем окончательную формулу  квадратичной регрессии,  вписывая в нее найденные значения коэффициентов.

· В ячейки R24, R25, R26 занести значения найденных коэффициентов регрессии.  Дать им имена, соответствующие обозначению (использовать русский шрифт).

3.  Подсчет и анализ остатков

· В столбцы  X и Y  еще раз заносим исходные данные (формулой = ). В столбец Z программируем построенную формулу регрессии, т.е. подсчитываем теоретические значения спроса. Выделяем весь столбец и записываем формулу

 ,   затем Ctrl + Enter .  Дать имя.

· В столбце  AB  подсчитываем  остатки    – т.е. разности  экспериментальных и теоретических значений  спроса.  Дать имя.

· В этом же столбце, ниже, находим числовые характеристики остатков:

¨ среднее значение остатков  (СРЗНАЧ).

     Оно должно быть практически равно нулю.

¨ дисперсию остатков:      .

                 - число коэффициентов в уравнении регрессии, т.е. сейчас 3.

(Мастер Функций  категория  «Математические »  СУММКВ ).

Чем меньше дисперсия остатков, тем лучше.

¨ стандартные отклонения остатков    ( ).

5.  Построение зависимостей  спроса, дохода, прибыли

и коэффициента эластичности  от цены

Во всех расчетах этого пункта будем использовать теоретические значения спроса

· Еще раз скопировать исходные данные для цены, на этот раз в столбец AK.

· В столбец  AL  так же скопировать теоретические значения спроса.

· В столбце  AO  подсчитать величину дохода:   Z = P ^· D(P).

· В ячейки  AQ23  и  AQ24  занести значения постоянных затрат C и переменных затрат  V  из вашего варианта исходных данных (дать ячейкам имена).

· В столбце  AP  подсчитать издержки:    G =C + VD.

· В столбце  AQ  подсчитать прибыль:  F =Z – G.

· Построить  графики  полученных зависимостей    (Мастер диаграмм,   Точечная диаграмма   с  последующим редактированием):

¨ На одном графике совместить  зависимость  дохода, издержек и прибыли от цены.

    Использовать столбцы  AK, AO, AP, AQ  и клавишу Ctrl. Отредактиро-

    вать график, чтобы он выглядел следующим образом:

6.  Расчет оптимальной цены при которой будут максимальными

доход  или прибыль

· Доход:

¨ В ячейках  BC11:BE11  по коэффициентам регрессии находим коэффициенты  квадратного уравнения для оптимальной цены.

¨ В ячейке  BF11  подсчитаем дискриминант.

¨ В ячейках  BC14:BD14 программируем известную формулу для корней квадратного уравнения.

¨ Ориентируясь на уже построенный график, выбираем  из корней  нужный  и заносим его в ячейку BF.

· Прибыль:

¨ Совершенно аналогично  находим оптимальную цену по прибыли.   Используем соответствующие ячейки  11  и  14 строки.

7.  Расчет оптимальных значений спроса , дохода  и прибыли

Информация в лекции "6 Развитие инвестиционного законодательства в России в 96-99 гг" поможет Вам.

· В  ячейку  BJ21  заносим  оптимальную  цену  (по  прибыли).

· В остальных ячейках этого столбца подсчитываем по соответствующим формулам остальные  величины.

Сохранить файл   в  своей  личной  папке:

Сохранить  файл  на дискете.