Скорости молекул

Лекция №3

Скорости молекул

Распределение молекул по скоростям

Максвелла-Больцмана

       В 1859г Максвелл и в 1877г Больцман показали, что можно описать распределение молекул по скоростям при данной температуре.

Вспомним основные фундаментальные положения молекулярно-кинетической теории газов:

- газ является изотропной средой , т.е. его свойства по всем направлением одинаковы;

- при любой заданной температуре всегда имеется одна и та же доля молекул с данными скоростями;

Рекомендуемые материалы

- температура газа есть  проявление скорости движения молекул:

где         k - постоянная Больцмана.

       Произвольно ориентированные скорости движения молекул могут быть определены выражением:                V² = ,

 где         - соответствующие проекции  рассматриваемой скорости на координатные оси.

       Функция распределения скоростей вдоль одной оси , например, Х описывается выражением:                        ,

 где         N – количество молекул в рассматриваемом объеме.

       Функция распределения скоростей относительно всех трех координатных осей

       Функция распределения скоростей молекул для произвольно взятых направлений будет выражена уравнением:

Для ограниченного (заданного) числа молекул N функция будет записана:                                

       Необходимо помнить, что по определению: ;

       Дифференцирование полученных выражений по V дает максимум (см. рис. 3), т.е.

значение скорости, наиболее  часто встречающейся  в распределении – наиболее вероятной скорости V_p

  (при ₎

где         Т - температура газа, К;

              M – молекулярный вес газа , кг/моль.

Рис.3

        Средняя арифметическая скорость V_а может быть выражена следующим образом:

_;  м³ *с^-1

                                         V_a= 453 м*с^-1 (для воздуха при t=20⁰С)

       Средняя квадратичная скорость V_r соответствующая квадратному корню из суммы квадратов скоростей может быть выражена:

 _;   м³ *с^-1

      V_r500м*с^-1  (для воздуха при t = 20^ОС)

Рассмотрим для сравнения выражение для определения скорости звука U    : ,

  где:                                                         

       Если мы принимаем =1,4 для таких газов как H₂, N₂, O₂ ,то  мы увидим , что скорость звука в газах очень близка к значениям  их скорости.

       Значения скорости теплового движения молекул часто используются в расчетах.

Пример:

       Необходимо рассчитать скорость вращения ротора простейшего молекулярного насоса, известного как насос Геде. Диаметр ротора насоса D_r = 0.4  м (рис. 4). На рис. 4 цифрами обозначены:

1. всасывающий патрубок

2. выхлопной патрубок

3. ротор

4. статор (корпус)

     Индексами обозначены:

D_r – диаметр ротора;

n_r – частота вращения ротора;

V_r- линейная скорость движений ротора.

                                                                           Рис.4  

       Принцип работы насоса основан на том, что молекулы, попавшие  в пространство между корпусом (4) и ротором (3) сначала начинают двигаться в произвольном направлении. При ударе о вращающийся ротор, рис.5, молекулы отражаются, приобретая дополнительную тангенциальную составляющую V_r в направлении вращения ротора. Тогда суммарная (средняя) скорость отраженных молекул :                                    _.

Рекомендуем посмотреть лекцию "4 Интегрированная система защиты зернобобовых культур от вредителей".

Рис.5

          Для того, чтобы молекулы  после удара о ротор  заметно отклонились от нормали  необходимо, чтобы линейная скорость поверхности ротора  была соизмерима  со скоростью  теплового движения молекул, т.е. ,

       Тогда                             ;м*с^-1

откуда требуемая скорость ротора :

  об/мин

       Такая скорость обеспечит заметное отклонение молекул и заметный эффект откачки насоса.