Введение в вейвлет

Введение в вейвлет - преобразования сигналов

Некоторые особенности Фурье – преобразования

Согласно теории любой сигнал Φ(t) во времени может быть представлен в виде суммы определенных элементарных базисных функций:

                                              (1)

где , ,,… система базисных ортогональных функций, [, Φ(t)] – k-ая спектральная составляющая. Сама функция Φ(t) должна быть квадратично интегрируема, т. е. отвечать условию:

Совокупность , ,  образует спектр сигнала.

При представлении на интервале времени -∞ ≤ t ≤ ∞ периодической функции Φ(t) = Φ(t + nT), где

 - период колебаний,  – круговая частота, n – любое положительное или отрицательное целое число, в виде ряда Фурье выражение (1) принимает вид:

Рекомендуемые материалы

                                (2)

где          (3)

Согласно (2) в случае ряда Фурье базисными являются ортогональные тригонометрические функции-последовательности синусы и косинусы:

В случае одиночного импульса от ряда Фурье переходят к интегралу Фурье.

                               (4)

где спектральная плотность:

                                       (5)

Важное достоинство Фурье – преобразования состоит в возможности единообразного представления разнообразных по форме функций Φ(t) в виде ряда составленного из синусоидальных сигналов с разными частотами. Это справедливо как для периодических сигналов, так и одиночных импульсов.

Однако у такого подхода есть определенные и очень крупные недостатки.

Один из них состоит в необходимости удержания большого числа членов ряда (2) для точного описания исходного сигнала, другой связан с невозможностью отразить некоторые локальные особенности функции, связанные с кратковременными резкими изменениями амплитуды, частоты и фазы сигнала.

Два примера:

Пример 1.

Есть два близкопохожих сигнала x(t) и y(t).

              (6)

                    (7)

Несмотря на различие сигналов x(t) и y(t) (рис. 1 а), их амплитудные спектры практически идентичны (рис. 1 б). Они очень похожи и при более мелком масштабе (рис. 1 в). Т.е. в данном случае, несмотря на то, что сигналы различны, их нельзя идентифицировать по частотным спектрам. Т.е. Фурье преобразование ничего не дает. Ни прямое, ни обратное, особенно при наличии погрешностей аппаратного преобразования не срабатывает. Сигналы неразличимы!!!

    Рис. 1 а)

     Рис. 1 а) (продолжение)            

       Рис.1 б)

Рис. 1 в)

Пример 2.

Один сигнал y(t) – радиоимпульс прямоугольной формы, второй z(t) – тот же радиоимпульс, но с разрывом посередине, т.е. по существу это два радиоимпульса (последовательных) с одной и той же частотой заполнения.

Рис. 2а)

Люди также интересуются этой лекцией: 3 Обзор тематики курса.

Рис. 2б)

Рис. 2б) (продолжение)

И здесь, несмотря на важное различие сигналов y(t) и z(t) их амплитудные спектры практически идентичны (Рис. 2 б). Небольшое различие только в области высших частот. Следовательно, и во втором примере идентифицировать сигналы по их частотным спектрам, построенным согласно Фурье – преобразованию, весьма затруднительно.