Особенности математических моделей

§ 1.2. Особенности математических моделей

Для правильного понимания математических моделей целесо­образно отметить некоторые их особенности.

Приближенность описания. Математическая модель описывает реальный объект или процесс всегда приближенно. Приближен­ность математической модели объясняется принятыми при ее со­ставлении допущениями и предположениями, цель которых — упростить модель, сделать ее удобной для использования, облегчить вычислительную работу. Неточности измерений при получении экспериментальных данных, использованных в модели, также служат причиной приближенности математической модели. По­этому математические модели физических процессов являются приближенными даже в тех случаях, когда допущения и предполо­жения, принятые при их разработке, хорошо обоснованы.

Учет только основных факторов. При разработке математичес­кой модели объекта или процесса стремятся учитывать только ос­новные, наиболее существенные факторы, оказывающие наиболь­шее воздействие на результат исследования. Несущественные яв­ления и факторы, оказывающие незначительное влияние на ра­боту исследуемого объекта или протекание исследуемого процесса с точки зрения поставленной задачи, в математической модели во внимание не принимают. Опыт показывает, что соот­ношение между переменными часто имеет большее значение, чем число переменных. Создать простую модель, уметь выделить и учесть главное — это и есть искусство исследователя. Среди специалистов в области моделирования на ЭВМ существует мне­ние, что, как правило, степень понимания исследователем сущ­ности исследуемого объекта обратно пропорциональна числу пе­ременных, использованных в разработанной им математической модели этого объекта.

Компромисс между простотой и полнотой описания. Чрезмерное упрощение математической модели может привести к потере точ­ности, а иногда и вообще сделать модель бесполезной. Желание получить более детализированную модель, учесть большее число факторов приводит к усложнению математической модели и к удорожанию численного эксперимента на ЭВМ.

Таким образом, составителя модели всегда подстерегают две опасности: первая — слишком огрубить явление, вторая — утонуть в подробностях. Поэтому исследователь должен найти разумный компромисс между требованиями простоты модели, полноты уче­та основных факторов и точности модели. Чрезмерное требование к точности модели за счет ее усложнения может привнести к об­ратному результату из-за накопления ошибок, которые имеют ме­сто при реализации математических моделей на ЭВМ (сложные модели решаются приближенными вычислительными методами). Именно поэтому качество математической модели определяется творческими способностями исследователя, четкостью понима­ния им задачи проводимого исследования, глубоким знанием и пониманием всех явлений и процессов, имеющих место в иссле­дуемом объекте, во всей полноте их влияния друг на друга и на результат исследования.

Ограниченность применения. Четвертая особенность математи­ческих моделей — ограниченность их применения. Это обусловле­но принятыми допущениями, отбрасыванием второстепенных для

поставленной задачи факторов, что может быть справедливо в од­ном случае и недопустимо в другом. Ограниченность применения математической модели следует понимать двояко. Во-первых, ма­тематическая модель должна использоваться только для постав­ленной при ее разработке цели и не больше; во-вторых, математи­ческая модель, разработанная для определенных целей, может быть использована только при определенных условиях, т. е. при­менимость моделей систем и моделей процессов требуется дока­зывать каждый раз, когда система (процесс) попадает в новые ус­ловия.

Отличие математических моделей от закона. Еще одна особен­ность математических моделей заключается в их отличии от мате­матического описания законов*. Закон в науке имеет характер не­которой абсолютной категории на данном уровне знаний. Он мо­жет быть либо безусловно верен, либо безусловно неверен и тогда отвергается. Нельзя говорить о плохих или хороших законах — это лишено смысла. Нельзя говорить о том, что одно и то же явление можно объяснить двумя или несколькими различными законами. Дуализм, т. е. объяснение одного и того же положения двумя раз­ными законами, — явление временное. Он всегда вызывает осо­бую озабоченность науки и в конце концов разрешается в пользу одного из законов. Математическая модель не является такой аб­солютной категорией, как закон. Одни и те же стороны изучаемо­го явления можно описывать различными математическими моде­лями, одновременно имеющими право на существование. Одна из них может быть лучше, а другая — хуже с какой-то точки зрения в данных условиях, и наоборот. Одна из них лучше, а другая — хуже для решения одной задачи. Другими словами, модели одного и того же процесса могут иметь мало общего, если они разрабатыва­ются для разных целей. Таким образом, пятая особенность мате­матических моделей — одну и ту же машину, один и тот же про­цесс, одну и ту же сторону процесса можно описать несколькими различными моделями, которые не всегда следует считать конку­рирующими.

Рекомендуемые материалы

Адекватность математических моделей. Шестая особенность ма­тематических моделей связана с проверкой их применимости, с понятием адекватности математических моделей с точки зрения решаемой с ее помощью задачи.

Эффективность, успешность использования результатов мате­матического моделирования решающим образом зависят от каче­ства математической модели, от того, насколько удачно она пост­роена. Принято проверять адекватность математической модели поставленной перед исследователем задачи. Под адекватностью математической модели понимают: 1) правильное качественное описание объекта (процесса) по выбранным характеристикам со­стояния; 2) правильное* количественное описание объекта (про­цесса) по выбранным характеристикам состояния с некоторой ра­зумной степенью точности.

"13 Объяснение без понимания" - тут тоже много полезного для Вас.

К математическим моделям, как правило, не следует предъяв­лять требования реалистичности. Математическая модель может быть нереалистичной, но в достаточной степени адекватной по­ставленной задаче. Главное — может ли модель быть полезной для решения задачи, стоящей перед исследователем. В качестве клас­сического примера нереалистичной, но адекватной поставленной задаче мысленной модели можно привести известную из курса физики модель атома, когда последний представляется в виде ядра с вращающимися вокруг него по круговым орбитам электронами. Нам сейчас ясно, что эта модель была далека от реальности. Но тем не менее она позволила в то время объяснить ряд физических явлений, т. е. она была адекватной ряду задач.

Примеры подобного типа можно привести и из опыта приме­нения математических моделей для изучения работы поршневых компрессоров. Так, чешский ученый И. Браблик при исследова­нии влияния пульсаций давления во всасывающем трубопроводе на работу всасывающих клапанов использовал математическую модель компрессора, в котором нагнетательные клапаны работали без потерь, что, конечно, нереально. В то же время эта модель была адекватна поставленной задаче. При изучении влияния пуль­саций давления в нагнетательном трубопроводе на работу нагнета­тельных клапанов он полагал, что отсутствуют какие-либо потери во всасывающих клапанах. Эта модель также была нереалистич­ной, но была адекватна задаче исследования в новой постановке.

Из сказанного ясно, что адекватность математической модели не есть точность ее.

Любая модель —это некоторая абстракция, звено в цепочке познания: от опыта к абстракции, к осмыслению явлений и вновь к практике, к использованию добытых знаний. Поэтому адекват­ность математической модели должна быть проверена практикой. Требования критерия практики нельзя понимать как только про­верку прямым экспериментом. Существуют математические моде­ли, которые нельзя проверить прямым экспериментом, но они все равно должны быть проверены практикой. Критерием практики в этом случае будет практическая полезность математической моде­ли, которая должна помогать достижению поставленных целей, т. е. должна быть полезной в практической деятельности.

Аналогия с материальными моделями. Седьмая особенность ма­тематических моделей — их аналогия с материальными моделями, которые широко используют, например, в гидравлике, аэродина­мике, электротехнике и т. д. и которые читателю уже хорошо изве-

стны. Так, исследования аэродинамических качеств легкового ав­томобиля можно провести путем продувки в аэродинамической трубе уменьшенной в размерах материальной модели этого авто­мобиля. В этом случае эксперимент проводят не на реальном авто­мобиле, а на его модели, а затем результат переносят определен­ным образом на реальный объект. Аналогичный процесс происхо­дит и при использовании математических моделей, когда реаль­ный объект заменяют его математической моделью, затем проводят вычислительные эксперименты с этой математической моделью и затем результат вычислительных экспериментов опре­деленным образом переносят на изучаемый реальный объект. И в этом и другом случае, т. е. в случае использования материальной модели и в случае использования математической модели, обе эти модели должны быть в определенном соответствии с реальным исследуемым объектом, должны отображать основные стороны реального объекта, важные для решения поставленной в исследо­вании задачи.