Общая математическая модель формирования оптимальных решений

4.2. Общая математическая модель формирования оптимальных решений

В математических моделях принятия решений в качестве нового знания выступает оптимальное решение, которое в наилучшем смысле соответствует достижению поставленной цели (целей).

Введем в рассмотрение  n-мерный вектор X = (x₁, x₂, … , x_n), определяющий количественные характеристики формируемого решения.

Обозначим через a, b, c вектора соответствующих размерностей, описывающие количественные характеристики неконтролируемых факторов.

Для оценки эффективности различных вариантов решений будем использовать специальным образом сформированную функцию:

W = f(c, X),

которая называется целевой функцией задачи ПР.

Тогда выбор оптимального решения Х_опт будем осуществлять, исходя из требования   – критерий оптимальности решений.

Множество Х должно быть допустимым с точки зрения учета условий принятия решений (ограничений).

Пусть ЛПР обладает для достижения цели вектором ресурсов b. Представим в виде вектор-функции j(а, Х) фактический расход ресурсов при использовании вектора решений Х и вектора некоторых факторов а.

Рекомендуемые материалы

Тогда j(а, Х) £ b есть ограничение.

Во многих задачах ПР учитывается условие Х ³ 0.

Таким образом, общая математическая модель формирования оптимальных решений может быть представлена в следующем виде:

                                                   (4.1)

                                                         (4.2)

                                                                 (4.3)

Постановка задачи в этом случае выглядит следующим образом:

Найти значение вектора Х, доставляющего максимум (минимум) целевой функции (4.1) и удовлетворяющего при этом условиям (4.2) и (4.3).

Математическая модель ПР (4.1) – (4.3) является однокритериальной моделью.

Если ЛПР должен учитывать m целей, то, формализуя их в виде критериев оптимальности, получим:

                                       (4.4)

где c₁ , c₂ , …, c_m – вектора неконтролируемых факторов.

Математическая модель (4.4), (4.2), (4.3) является многокритериальной моделью.

В реальных задачах ПР ограничения вида (4.2) могут включать в себя как неравенства вида «£», «³», «=», так и их различные сочетания.

Аналитическое решение задачи ПР возможно, если соответствующая математическая модель включает в себя ограничения типа равенств, то есть имеет вид:

Такие задачи решаются обычно классическими методами условной оптимизации, которые предусматривают построение функции Лагранжа вида

                                  (4.5)

где l₁, l₂, … , l_m – неопределенные множители Лагранжа.

Точки экстремума этой функции определяются из решения системы уравнений вида

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 15 Первый час.

                                                  (4.6)

Решая эту систему, получим решение вида

                                           (4.7)

Недостатками этого метода являются:

1) Не учитываются в явном виде условия неотрицательности (4.3).

2) Система уравнений (4.6) позволяет получить решение в форме (4.7) только для простых функций (4.4).