Стационарные случайные функции

6. Стационарные случайные функции

6.1. Понятие о стационарном
случайном процессе

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 6.1).

Рис. 6.1

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д.
Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, и от времени.

На рис. 6.2 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса – процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени.

Рекомендуемые материалы

Рис. 6.2

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии – с так называемого «переходного процесса». После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессы, протекающие в ней, могут считаться стационарными.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются
в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарные.
В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (т. к. аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время).

Случайная функция  называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от t (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси t).

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

                                             .                                     (6.1)

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции  всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию (6.1). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не помешает нам изучать его как стационарный процесс.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, – это условие постоянства дисперсии:

                                            .                                     (6.2)

Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию  (рис. 6.3). Положим в выражении   и рассмотрим  – корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени . Очевидно, если случайный процесс X(t) действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси Оt мы взяли участок , а должен зависеть только от длины этого участка. Например, для участков I и II на рис. 6.3, имеющих одну и ту же длину , значения корреляционной функции и  должны быть одинаковыми.

Рис. 6.3

Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения t первого аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка  между первым и вторым аргументами:

                                                                                  (6.3)

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что условие (6.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (6.3). Действительно, полагая в формуле (6.3)  , имеем

                                  .                           (6.4)

Таким образом, условие (6.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция.

Поэтому в дальнейшем под стационарной случайной функцией мы будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов t и t', а только от разности  между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции.

Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:

Отсюда для стационарного процесса, полагая , имеем:

                                                                                          (6.5)

т. е. корреляционная функция  есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рис. 6.4).

Рис. 6.4

На практике вместо корреляционной функции  часто пользуются нормированной корреляционной функцией

                                                 ,                                         (6.6)

где  – постоянная дисперсия стационарного процесса. Функция  есть не что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом  по времени. Очевидно, что .

6.2. Эргодическое свойство стационарных
случайных функций

Рассмотрим некоторую стационарную случайную функцию , для которой требуется оценить ее характеристики: математическое ожидание m_х и корреляционную функцию . Для этого нужно располагать известным числом реализаций случайной функции . Обрабатывая эти реализации, можно найти оценки для математического ожидания  и корреляционной функции .
В связи с ограниченностью числа наблюдений функция не будет строго постоянной; ее придется осреднить и заменить некоторым постоянным ; аналогично, осредняя значения  для разных , получим корреляционную функцию .

Этот метод обработки является довольно сложным и громоздким. Возникает вопрос: нельзя ли для стационарной случайной функции этот сложный процесс обработки заменить более простым, который базируется на предположении, что математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция – от начала отсчета?

Поскольку случайный процесс является стационарным и протекает однородно по времени, естественно предположить, что одна-единственная реализация достаточной продолжительности может служить достаточным опытным материалом для получения характеристик случайной функции.

При более подробном рассмотрении этого вопроса оказывается, что такая возможность существует не для всех случайных процессов; не всегда одна реализация достаточной продолжительности оказывается эквивалентной множеству отдельных реализаций.

Для примера рассмотрим две случайные стационарные функции  и , представленные совокупностью своих реализаций на рис. 6.5 и 6.6.

Рис. 6.5

Рис. 6.6

Для случайной функции  характерна следующая особенность: каждая из ее реализаций обладает одними и теми же характерными признаками: средним значением, вокруг которого происходят колебания, и средним размахом этих колебаний. Выберем произвольно одну из таких реализаций и продолжим мысленно опыт, в результате которого она получена, на некоторый участок времени Т. Очевидно, при достаточно большом Т эта одна реализация сможет дать нам достаточно хорошее представление о свойствах случайной функции в целом. В частности, осредняя значения этой реализации вдоль оси абсцисс – по времени, мы должны получить приближенное значение математического ожидания случайной функции; осредняя квадраты отклонений от этого среднего, мы должны получить приближенное значение дисперсии, и т. д.

Про такую случайную функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что каждая отдельная реализация случайной функции является как бы «полномочным представителем» всей совокупности возможных реализаций; одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же общей продолжительности.

Рассмотрим теперь случайную функцию . Выберем произвольно одну из ее реализаций, продолжим ее мысленно на достаточно большой участок времени и вычислим ее среднее значение по времени на всем участке наблюдения. Очевидно, это среднее значение для каждой реализации будет свое и может существенно отличаться от математического ожидания случайной функции, построенного как среднее из множества реализаций. Про такую случайную функцию говорят, что она не обладает эргодическим свойством.

Если случайная функция  обладает эргодическим свойством, то для нее среднее по времени (на достаточно большом участке наблюдения) приближенно равно среднему по множеству наблюдений. То же будет верно и для  ,  и т. д. Следовательно, все характеристики случайной функции (математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию) можно будет приближенно определять по одной достаточно длинной реализации.

Какие же стационарные случайные функции обладают, а какие не обладают эргодическим свойством?

Поясним этот вопрос наглядно, исходя из примера. Рассмотрим случайную функцию  – колебания угла атаки самолета на установившемся режиме горизонтального полета. Предположим, что полет происходит в каких-то типичных средних метеорологических условиях. Колебания угла атаки вызваны случайными возмущениями, связанными с турбулентностью атмосферы. Среднее значение угла атаки, около которого происходят колебания, зависит от высоты полета Н. Зависит от этой высоты и размах колебаний: известно, что в нижних слоях атмосферы турбулентность сказывается сильнее, чем в верхних.

Рассмотрим случайную функцию  – колебания угла атаки на заданной высоте Н. Каждая из реализаций этой случайной функции осуществляется в результате воздействия одной и той же группы случайных факторов и обладает одними и теми же вероятностными характеристиками; случайная функция  обладает эргодическим свойством (рис. 6.7).

Рис. 6.7

Представим себе теперь, что рассматривается случайная функция  не для одной высоты Н, а для целого диапазона, внутри которого задан какой-то закон распределения высот (например, закон равномерной плотности). Такая случайная функция, оставаясь стационарной, очевидно, уже не будет обладать эргодическим свойством; ее возможные реализации, осуществляющиеся с какими-то вероятностями имеют различный характер (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Для этого случайного процесса характерно то, что он как бы «разложим» на более элементарные случайные процессы; каждый из них осуществляется с некоторой вероятностью и имеет свои индивидуальные характеристики. Таким образом, разложимость, внутренняя неоднородность случайного процесса, протекающего с некоторой вероятностью по тому или другому типу, есть физическая причина неэргодичности этого процесса.

В частности, неэргодичность случайного процесса может быть связана с наличием в его составе слагаемого в виде обычной случайной величины.

6.3. Определение характеристик эргодической стационарной случайной функции
по одной реализации

Рассмотрим стационарную случайную функцию , обладающую эргодическим свойством, и предположим, что в нашем распоряжении имеется всего одна реализация этой случайной функции, но зато на достаточно большом участке времени Т. Для эргодической стационарной случайной функции одна реализация достаточно большой продолжительности практически эквивалентна (в смысле объема сведений о случайной функции) множеству реализаций той же общей продолжительности; характеристики случайной функции могут быть приближенно определены не как средние по множеству наблюдений, а как средние по времени t. В частности, при достаточно большом Т математическое ожидание т_х может быть приближенно вычислено по формуле

                                                                                        (6.7)

Аналогично может быть приближенно найдена корреляционная функция  при любом . Действительно, корреляционная функция, по определению, представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной функции :

                                       .                               (6.8)

Это математическое ожидание также, очевидно, может быть приближенно вычислено как среднее по времени.

Фиксируем некоторое значение  и вычислим указанным способом корреляционную функцию k_х(). Для этого удобно предварительно «центрировать» данную реализацию х(t), т. е. вычесть из нее математическое ожидание (6.7):

                                               .                                        (6.9)

Вычислим при заданном  математическое ожидание случайной функции  как среднее по времени. При этом, очевидно, нам придется учитывать не весь участок времени от 0 до Т, а несколько меньший, т. к. второй сомножитель известен нам не для всех t, а только для тех, для которых . Вычисляя среднее по времени указанным выше способом, получим:

                                    .                          (6.10)

Вычислив интеграл (6.10) для ряда значений t, можно приближенно воспроизвести по точкам весь ход корреляционной функции.

На практике обычно интегралы (6.7) и (6.10) заменяют конечными суммами. Покажем как это делается. Разобьем интервал записи случайной функции на п равных частей длиной и обозначим середины полученных участков  (рис. 6.9).

Рис. 6.9

Представим интеграл (6.7) как сумму интегралов по элементарным участкам  и на каждом из них вынесем функцию  из-под знака интеграла средним значением, соответствующим центру интервала . Получим приближенно:

или

                                                .                                      (6.11)

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для значений , равных . Придадим, например, величине  значение

и вычислим интеграл (6.10), деля интервал интегрирования

на  равных участков длиной  и вынося на каждом из них функцию  за знак интеграла средним значением.
Получим:

или окончательно

Ещё посмотрите лекцию "10 Словарь терминов" по этой теме.

                                 .                       (6.12)

Вычисление корреляционной функции по формуле (6.12) производят для  последовательно вплоть до таких значений т, при которых корреляционная функция становится практически равной нулю или начинает совершать небольшие нерегулярные колебания около нуля. Общий ход функции  воспроизводится по отдельным точкам (рис. 6.10).

Рис. 6.10

Для того чтобы математическое ожидание т_х и корреляционная функция  были определены с удовлетворительной точностью нужно, чтобы число точек п было достаточно велико (порядка сотни, а в некоторых случаях даже нескольких сотен). Выбор длины элементарного участка  определяется характером изменения случайной функции. Если случайная функция изменяется сравнительно плавно, участок  можно выбирать большим, чем когда она совершает резкие и частые колебания. Чем более высокочастотный состав имеют колебания, образующие случайную функцию, тем чаще нужно располагать опорные точки при обработке. Ориентировочно можно рекомендовать выбирать элементарный участок  так, чтобы на полный период самой высокочастотной гармоники в составе случайной функции приходилось порядка 5–10 опорных точек.

Часто выбор опорных точек вообще не зависит от обрабатывающего, а диктуется темпом работы записывающей аппаратуры.
В этом случае следует вести обработку непосредственно полученного из опыта материала, не пытаясь вставить между наблюденными значениями промежуточные, т. к. это не может повысить точности результата, а излишне осложнит обработку.