Формула Ньютона для неравностоящих узлов

Формула Ньютона для неравностоящих узлов

Разделённые разности

Если в таблицах встречаются неравноотстоящие значения аргумента, т.е. таблицы с переменным шагом, то вводят понятие разделённых разностей.

Пусть функция  задана таблично, где

 - значения аргумента

 - значения функции

отношения  - разделённая разность первого порядка

Рекомендуемые материалы

         - разделённая разность второго порядка

           - разделённая разность -го порядка

Разделённые разности удобнее всего рассматривать в таблице - таблице разностей

Интерполяционная формула Ньютона для неравностоящих значений аргумента

Дано  - значения аргумента

 - значения функции

Апроксимировать таблично заданную функцию полиномом порядка не выше

Пример:

Погрешность формулы Ньютона для неравностоящих узлов

где  - промежуточное значение между точками  и

Интерполяция сплайками

Даны: , разбитый на разные отрезки с узлами

и соответствующие им значения функции

Сплайком называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на заданном отрезке , и на каждом частичном отрезке  в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом, причём степени многочлена различны.

Степень сплайка - максимальная степень многочлена.

Дефект сплайка - разность между степенью сплайка и порядком наивысшей производной на отрезке .

На практике широкое применение получили кубические сплайки.

Таким образом для интерполяции сплайками, необходимо знать не только значения функции в точках  и ; а ещё и их производные

 - наклон сплайка

Как задаётся наклон сплайка?

1. Упрощённый способ

2. Если известны значения   =>

3. Глобальный

Сплайки являются наиболее удобным средством апроксимации функций на небольших промежутках, то есть .

При апрксимации функций интерполяционными многочленами можно потребовать очень высокой степени полиномы, тогда как разбиения на участки, содержащих несколько участков, правда при этом в савке двух многочленов первая производная терпит разрыв.

Многочлены Чебышева

Особенность интерполяции функции многочленами Чебышева заключается в том, что приведённые многочлены минимизируют максимальную погрешность

Выбор узлов интерполирования

На практике ИФН обрывается на членах, содержащих разности в пределах заданной точности. В этом случае остаточный член да 2инф:

 - 2ИФН                                      (1)

 - 1ИФН                                       (2)

 - Лагранж                            (3)

Анализируя погрешности интерполяционных формул, можно сделать следующий вывод:

1. Остаточные члены зависят от выбора узлов интерполирования:

(1) и (2) =

(2)

2. В первых двух формулах видоизменить что-либо сложно, ибо само условие означает равноотстоящие узлы.

3. В формуле Лагранжа можно выбирать узлы. При неудачном выборе узлов интерполирования погрешность  может быть очень большой.

 если сконцетрировать около одного из концов, то

Рациональный вывод узлов, чтобы полином  имел наименьшее максимальное значение по абсолютной величине на отрезке  => “наименее отклонился от шрся на .

Эта задача решима русским математиком Чебышевым

где ,  => это узлы Полином Чебышева

Эти узлы неравноотстоящие, а сгущаются около концов отрезка.

Обратное интерполирование для равноотстоящих узлов

Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по функции  найти значение аргумента .

Предположим, что  монотонна и значение  содержится между  и . Заменяя  интерполяционным полиномом Ньютона, имеем:

ð , где  число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки .

За начальное приближение принимаем:

Применяя метод итерации, получим:

Итерационный процесс, останавливается, когда

 и тогда  =>

Пример:

Задано . Определить  с точностью

 

Горизонтальная таблица разностей:

 Þ

Тогда

Обратное интерполирование для неравноотстоящих точек

Задача обратного интерполирования для случая неравноотстоящих точек непосредственно может быть решена с помощью интерполяционной формулы Лагранжа

Или с помощью интерполяционной формулы Ньютона для неравноотстоящих точек

Общие выводы по задаче интерполяции

1. Для равноотстоящих узлов интерполирования лучше всего выбирать интерполяционные формулы Ньютона, при этом:

а) если значение в начале таблицы - 1ИФН

б) если значение в конце таблицы  - 2ИФН

2. Существуют интерполяционные центральные формулы, позволяющие интерполировать в середине таблицы, используя близлежащие разности (Гаус, Стерлинг, Бессель)

3. Для неравноотстоящих узлов интерполирования существуют формулы Лагранжа, Ньютона.

4. Если количество узлов больше и существует возможность определения хотя бы первых производных в узлах, то лучше всего исрользовать интерполяцию сплайками.

5. Если существует возможность выбора узлов, то выбирают по условиям Чебышева, которое позволяет уменьшить погрешность аппроксимации.

6. Используя интерполяционные формулы, можно решать задачу обратного интерполирования.

7. Задача обратного интерполирования может быть использована при решении корней уравнения, а именно:

, необходимо найти корни. Составляем таблицу   по формуле, а затем задаваясь значением  => ищат .

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Если для функции  интерполяционный полином Лагранжа  принимает в точках  заданные значения . Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции  в других точках, то есть как велик остаточный член.

- абсолютная погрешность интерполяционной формулы Лагранжа (остаточный член)

Бесплатная лекция: "22 Законы и категории диалектики" также доступна.

Пример: с какой точностью можно вычислить  с помощью ИФЛ для функции

Выбрав узлы интерполирования

, ,

ð