Теория протекания
ГЛАВА III. Теория протекания
Решёточные задачи
Термин «протекание» – вольный перевод английского термина percolation (просачивание), впервые употребленного в 1957 г. С. Р. Бродбентом и Дж. М. Хаммерсли в связи с новым классом математических задач. Эти задачи естественно возникают при рассмотрении протекания жидкости по случайному лабиринту. Это приложение и дало название всей математической теории.
Рассмотрим постановку простейших задач теории протекания. Представим себе бесконечную пространственную или плоскую решетку. Назовем связями отрезки между ближайшими узлами решетки. Пусть по каждой связи в обе стороны может протекать некоторая жидкость, так что каждый смоченный узел мгновенно смачивает все соседние узлы. Если в такой решетке смочить один узел, то все остальные узлы также оказываются смоченными. Различным образом вводя в условия задачи случайные элементы, можно получить разные задачи теории протекания.
Начнем рассмотрение с задачи связей (bond problem). Предположим, что каждая связь может находиться в двух состояниях. Она может быть разорванной (и тогда она не пропускает жидкость) или целой. Пусть вероятность того, что произвольная связь цела, есть х и не зависит от состояния других связей. Тогда мы имеем набор целых и разорванных связей. Концентрация (относительная доля) первых есть х, а концентрация вторых (1 – х). Картина распределения целых и разорванных связей фиксирована и во времени не изменяется.
Теперь после смачивания одного узла решетки могут возникнуть две разные ситуации: исходный узел может смочить либо конечное, либо бесконечное число узлов. Какая из этих двух возможностей реализуется, зависит от доли целых связей решетки. Однако в силу случайного расположения целых и разорванных связей имеет значение и выбор исходного узла. Для характеристики системы в целом, удобно говорить не об одном конкретном исходном узле, а о вероятности того, что произвольный исходный узел смачивает бесконечное число узлов. Очень важно, что в бесконечной решетке эта вероятность не зависит от конкретной реализации, т. е., от того, каким образом легли целые и разорванные связи. Для заданной решетки она зависит только от х и обозначается Р(b)(х) (индекс b указывает на то, что величина относится к задаче связей).
Графики функций Р(b)(х), полученные с помощью численных расчетов, приведены для различных решеток на рисунке. Кривые 1, 2, 4 относятся к трехмерным решеткам, а остальные три кривые – к двумерным. При малых х величина Р(b)(х) ≡ 0, так как разорванные связи не позволяют жидкости отойти далеко от исходного узла. При х, близких к единице, вероятность Р(b)(х) также близка к единице.
Важнейшее значение имеет введенное Бродбентом и Хаммерсли [1] понятие порога протекания (критической вероятности). Порогом протекания (критической вероятностью) xс называют верхнюю границу тех значений х, для которых Р(b)(х) = 0. Общепринятая точка зрения, подтверждаемая численными расчетами, состоит в том, что за порогом протекания функция Р(b)(х) нарастает до единицы, а при (х - хс) << 1
Рекомендуемые материалы
(b)(х) ∞ (х — хс)β ,
где β — критический индекс, называемый параметром порядка.
Это связано с тем, что поведение Р(b)(х) с увеличением х напоминает поведение параметра порядка фазового перехода второго рода: при х<хс протекания нет, а при х=хс оно возникает. Существование определенного значения порога протекания хс, так же как и самой функции Р(b)(х), возможно лишь на бесконечной решетке, для которой все случайные реализации разорванных связей с заданным значением х с точки зрения протекания эквивалентны.
Наряду с вероятностью соединить бесконечное число узлов Р(b)(х), можно говорить о вероятности РN(b)(х) того, что данный узел смачивает по крайней мере N узлов, где N — большое, но конечное число. Вероятность РN(b)(х), разумеется, отлична от нуля при всех 0<х<1, хотя при N много больших 1 и х < хс она очень мала. Вероятность Р(b)(х) получается из РN(b)(х) предельным переходом к N = ∞:
Примером задачи связей может быть такая. Пусть проектируется фруктовый сад, представляющий собой квадратную решетку, в узлах которой растут деревья. Известно, что заболевшее дерево заражает другое дерево, находящееся от него на расстоянии r, с вероятностью f(r), где f(r) — очень быстро убывающая функция. Требуется найти минимальный период решетки, при котором одно заболевшее дерево способно заразить лишь конечное число деревьев, т.е., отсутствует опасность эпидемии. Из условия задачи очевидно, что контактами отдалённых соседей можно пренебречь, а доля контактов между ближайшими деревьями, приводящих к заражению, равна f(h), где h —период решетки. Если таким контактам сопоставить целые связи решетки, а остальным — разорванные, то получим задачу связей, причем х = f(h). Поэтому искомый минимальный период hmin определяется равенством
f (hmin) = xc
Вторая основная задача теории протекания – задаче узлов (site problem). В этой задаче все связи считаются целыми, а «портятся» узлы: их называют перекрытыми или открытыми. Перекрытые узлы не пропускают жидкость, ни в какую сторону. Они не могут быть смочены и не смачивают другие узлы. Обозначим через х долю открытых узлов и через P(s) (х) – вероятность того, что произвольный узел смачивает бесконечное число узлов (индекс s означает, что соответствующая величина относится к задаче узлов). Как и в задаче связей, существует порог протекания xc(s) – верхняя граница значений х, для которых P(s) (х) = 0.
Задачи узлов и связей удобно сформулировать, введя понятие кластеров и не используя представление о растекании жидкости. Пусть случайным образом долю х узлов решетки выкрасили в черный цвет, а оставшиеся узлы — в белый. Будем называть связанными любые два черных узла, являющиеся ближайшими соседями. Назовем кластером совокупность черных узлов, связанных друг с другом как непосредственно, так и посредством цепочек связанных черных узлов. На языке кластеров динамика возникновения протекания при увеличении х выглядит следующим образом. При малых х все кластеры невелики. Однако по мере приближения к порогу протекания отдельные кластеры сливаются и средний размер кластеров возрастает. В точке х = хс впервые возникает черный бесконечный кластер. Он напоминает собой случайную сетку и пронизывает все пространство. В «порах» бесконечного кластера размещаются конечные изолированные кластеры (см. рисунок).
Понятие бесконечного кластера позволяет дать иную трактовку вероятности P(s)(х). Так как только узлы бесконечного кластера смачивают бесконечное число узлов, вероятность P(s)(х) равна отношению числа узлов, принадлежащих бесконечному кластеру, к полному числу узлов решетки. Другими словами, P(s)(х) есть плотность бесконечного кластера. Возрастание P(s)(х) при удалении от порога протекания в сторону больших х означает, что бесконечный кластер, постепенно присоединяя конечные кластеры, из очень редкого, «бестелесного» становится все более плотным. Средний размер его «пор» постепенно убывает. Соответственно убывает среднее число частиц тех конечных кластеров, которые остаются изолированными.
В задаче связей таким же образом можно говорить о конечных и бесконечных кластерах из целых связей и связанных ими узлов: плотностью бесконечного кластера связей P(b)(х) называют отношение числа его связей к полному числу связей решетки.
Считается, хотя и не является строго доказанным, что в системе не может существовать несколько бесконечных черных кластеров, не связанных друг с другом. Предположим противное, т.е., допустим, что в некоторой области значений хс<х<х1 существуют два бесконечных кластера, пронизывающих все пространство. Возьмем значение х=хс+∆/2, где ∆<x1—хс. Соответствующие этому х два бесконечных кластера обладают конечной плотностью и везде находятся на конечном расстоянии друг от друга. Увеличим х до значения хс+∆, вводя дополнительные черные узлы. Вероятность заполнения этими узлами любой фиксированной перемычки между двумя бесконечными кластерами окажется малой, но конечной. В то же время число возможных перемычек между бесконечными кластерами бесконечно. Поэтому с достоверностью при х = хс+∆ оба кластера окажутся связанными в один, что противоречит исходному предположению, поскольку хс+∆< х1.
Используя язык статистики кластеров, дадим теперь формальные определения Р(х) и других величин теории протекания на примере задачи узлов. Пусть ns — число кластеров из s узлов в бесконечной решетке, приходящееся на один узел решетки. Тогда сумма есть доля узлов решётки, принадлежащих конечным кластерам. Поскольку доля всех чёрных узлов есть х, доля узлов решётки принадлежащих бесконечному кластеру Р(х) равна
Р(х) = х –
Другой важной величиной теории протекания является среднее число узлов конечного кластера
,
где суммирование происходит по всем конечным s. Согласно численным расчетам, при х→хс+ 0 или х→хс– 0 величина S(x) обращается в бесконечность:
S(x) ∞ | x - xc |-γ ( | x - xc | << 1)
где γ – критический индекс теории протекания.
Обащение в бесконечность S(x) при |х — хс| → 0 не означает ни того, что больших кластеров больше, чем маленьких, ни того, что большим кластерам принадлежит подавляющее число черных узлов. Действительно, , следовательно, простое среднее остается конечным при x= хс. Таким образом, основная часть черных узлов и при х = хс находится в кластерах с s ~ 1.
Согласно численным расчетам, при |х — хс| << 1 величина ns как функция s ведет себя следующим образом. Существует некоторое критическое значение числа узлов в кластере sc, которое растет при х→хс+0 и х→хс–0:
Sс∞ | x - xc | – ∆, ∆ >0
При s << sc величина ns убывает с ростом s по слабому степенному закону, а при s>>sc – по более резкому экспоненциальному закону. Обращение в бесконечность величины S(x) при х→хс является отражением роста числа узлов в критических кластерах, т.е., удаления границы экспоненциального спада ns.
Третьей важной характеристикой теории протекания является корреляционная функция. Чтобы ввести ее, определим функцию g(ri,rj), положив ее равной единице, если узлы i и j черные и принадлежат одному конечному кластеру, и равной нулю во всех остальных случаях. После этого введем парную корреляционную функцию, усреднив g(ri,rj) по всем узлам решетки:
G (r,x) = G( ri – rj, x) ≡ <g ( ri, rj )>
При r → ∞ функция G(r, x) стремится к нулю, так как число кластеров ns размера s убывает с ростом s. На расстояниях r, меньших среднего размера критических кластеров, который мы обозначим L(x), определяющую роль в создании корреляции играют кластеры с s<<sc(x). Следовательно, в этой области значений r функция G(r, x) убывает степенным образом с ростом r. При r>>L(x) главную роль играют экспоненциально редкие кластеры с s >> sc(x), и поэтому G(r, x) убывает экспоненциально с ростом r.
Естественно считать, что средний размер критического кластера L(x) является единственной характерной длиной функции G(r, x), и назвать эту длину радиусом корреляции. Поскольку число узлов критического кластера при x→xc ± 0 стремится к бесконечности, радиус корреляции L должен возрастать при приближении к порогу протекания
L (x) ≈ | x - xc|-ν ( | x - xc|<<1),
где v — критический индекс длины корреляции. Обычно считают, что критические индексы γ, ∆, v одинаковы при х>хс и х<хс. При х > хс малая вероятность возникновения конечных кластеров с размером больше L(x) означает одновременно малую вероятность пор бесконечного кластера такого размера. Поэтому при х > хс длину корреляции можно интерпретировать как характерный размер пор сетки бесконечного кластера. Можно сказать, что длина корреляции дает представление о среднем расстоянии между узлами сетки, или о ее «периоде».
Для справки приведены значения порогов протекания задач связей и узлов для трёх типов решёток:
треугольная xc(b) = 0,3473 xc(s) = 0,500
квадратная xc(b) = 0,5000 xc(s) = 0,590 ± 0,01
шестиугольная xc(b) = 0,6527 xc(s) = 0,700 ± 0,01
М. Ф. Сайке и Дж. У. Эссам, изучая методом рядов поведение S(x) вблизи х = хс, впервые вычислили критический индекс γ для задачи узлов и связей. Оказалось, что на всех исследованных ими плоских решетках – квадратной, треугольной и шестиугольной – значения γ близки. Аналогичное совпадение было зафиксировано в трехмерном случае для простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубических решеток и решетки алмаза. Основываясь на этих данных, они предположили, что индекс γ универсален, т.е., для фиксированной размерности пространства он не зависит ни от характера задачи, ни от вида решетки Имеющиеся теперь данные не противоречат гипотезе о том, что все индексы теории протекания универсальны.
Другим основным методом численного решения задач теории протекания является метод случайных испытаний, или метод Монте-Карло.
Величина хс сильно зависит от решетки и характера задачи. Для задачи связей существует приближенное эмпирическое правило, по которому хс(b) выражается через простые характеристики решеток – размерность d и число ближайших соседей Z:
,
где B = Zx—среднее число узлов, связанных с данным узлом решетки. Это соотношение выполняется с точностью до нескольких процентов при изменении величин Z и хс(b) в 3 раза. Для задачи узлов величина Zxc не является даже приближенным инвариантом. Однако в этом случае существует другой приближенный инвариант, замеченный Г. Шером и Р. Залленом.
Построим вокруг каждого узла решетки окружность (сферу) с радиусом, равным половине расстояния до ближайшего соседа (см. рисунок). Пусть f есть доля площади (объема), попадающая внутрь этих окружностей (сфер). Величину f называют плотностью упаковки. Ее легко вычислить для каждой решетки. Г. Шер и Р. Заллен подсчитали долю площади (объема), которая при х=хс находится внутри окружностей (сфер), построенных вокруг черных узлов. Для этого надо вычислить произведение υc = fxc(s). Оно оказывается приблизительно одинаковым для всех решеток одной размерности:
υc = 0,15±0,01 при d = 3 и υc = 0,4±0,02 при d = 2.
Исследование решеточных задач началось раньше других, и именно на них отработаны методы и проверены основные идеи теории протекания. Кроме них существуют еще два больших класса задач теории протекания: континуальные задачи и задачи на случайных узлах.
Континуальные задачи
Континуальные задачи формулируются следующим образом: допустим, что во всем пространстве задана случайная непрерывная функция V(r), не нарушая общности, будем считать, что среднее значение <V(r)> = 0. Зададим вещественное число V и мысленно «покрасим» черной краской области пространства, где V(r) < V, а остальные области – белой.
При изменении V от - ∞ до + ∞, объем черных областей меняется от нуля до объема всего пространства (см. рисунок). Изолированные вначале
черные «озера» сливаются друг с другом и при больших V образуют «океан». Требуется найти нижнюю границу Vc тех значений V, для которых имеется возможность, стартуя из некоторых черных точек, уходить на бесконечное расстояние, двигаясь только по черным областям. Величина Vc называется в этом случае уровнем протекания.
Можно сформулировать задачу и на языке, аналогичном кластерному. Возникновение протекания соответствует на этом языке образованию связной черной области, обладающей бесконечным объемом. Естественно, обобщается и формулировка о протекании через конечный объем – здесь нужно говорить о возникновении путей протекания «по черному» между противоположными сторонами квадрата (гранями куба).
Континуальная задача близка к сформулированным выше решеточным задачам. Пусть есть решетка со столь малым периодом, что функция V(r) практически на нем не меняется. Зафиксируем V и будем считать, что узлы решетки, находящиеся в черных областях, – черные, а в белых – белые. При увеличении V увеличивается доля черных узлов
где υ(V) — доля пространства, в которой V(r)<V, a F(V)—функция распределения потенциала V. Уровень протекания Vc, таким образом, может быть найден из того условия, что доля пространства, занятого черными областями на пороге протекания:
равна порогу протекания хс для задачи узлов, отличающейся от сформулированной ранее тем, что распределение черных и белых узлов коррелированно в соответствии с видом V(r), т. е., черные и белые узлы сгруппированы в кластеры.
Наряду с протеканием по черному можно говорить и о протекании по белому. При малых V белое заполняет почти все пространство, образуя «континент», окружающий своими «берегами» черные «озера». При больших V «континент» разбивается на изолированные «острова» и протекания по белому нет. Назовем уровнем протекания по белому значение V = V`c, при котором протекание по белому исчезает. Если говорить o случайных потенциалах V(r), обладающих конечным радиусом корреляции, то в двумерном случае существует простая связь между Vc и V`c
Действительно, рассмотрим протекание по черному и по белому между противоположными сторонами квадрата с размерами, много большими радиуса корреляции потенциала. В этом случае ясно, что отсутствие протекания по черному слева направо означает существование протекания по белому сверху вниз. С другой стороны, если имеется протекание по белому, например, слева направо, то протекание по черному сверху вниз отсутствует.
Поскольку в очень больших квадратах протекание по одному из цветов в обоих направлениях возникает при одинаковом значении V, то в предыдущих двух фразах можно опустить слова «слева направо» и «сверху вниз», и приходим к следующему заключению. Протекание по черному исчезает при том же значении V, при котором возникает протекание по белому, т. е., Vc = V`c .
Теперь можно определить Vc для потенциала, статистические свойства которого симметричны относительно значения V = 0. Для таких потенциалов очевидно, что Vc = - V`c и с учетом Vc = V`c= 0 и θс =0,5 , т.е., на пороге протекания площадь поровну распределена между белым и черным цветом.
Для трехмерного потенциала, как и для двумерного, не может отсутствовать протекание по обоим цветам. Здесь, однако, протекания по черному и по белому могут сосуществовать, так как каналы, по которым осуществляется протекание по белому и по черному, не обязаны пересекаться. Поэтому в трехмерном случае имеет место лишь неравенствоVc ≤ - V`c , т.е., с точки зрения протекания возможны три различные области значений V:
1) V<Vс – есть протекание по белому, но нет по черному;
2) Vc≤V<V`c — есть протекание и по белому, и по черному;
3)V≥Vc — есть протекание по черному, но нет по белому.
Для статистически симметричного потенциала выполняется
и .
Задачи на случайных узлах
Рассмотрим задачи протекания по случайным узлам – это точкам, хаотически распределенным в пространстве.
Пусть среднее число узлов в единице объема задано и равно N. И пусть также ξij – некоторая функция вектора rij, соединяющего два узла i и j. Зададим некоторое число ξ и будем считать, что узлы i и j связаны, если выполнено неравенство ξij ≤ ξ, которое в дальнейшем называется условием связности.
Если два узла связаны непосредственно или с помощью попарно связанных узлов, то они принадлежат одному кластеру. Требуется найти порог протекания ξc, т.е., нижнюю границу, значений параметра ξ, для которых существует бесконечный кластер.
Простейшей из этого класса является задача с условием связности rij ≤ r. Это условие выполняется, если узел j находится внутри сферы радиуса r, описанной вокруг узла i. Поэтому задача имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть вокруг каждого узла построены сферы одинакового радиуса r. Требуется найти наименьшее значение r = rс, при котором существуют бесконечные цепочки узлов, где каждый последующий узел лежит внутри сферы, построенной на предыдущем, а иногда строят сферы с радиусом r/2 и определяют значение r, при котором бесконечный кластер образуют перекрывающиеся сферы (см. рисунок).
Порог протекания, или перколяционный радиус, rс зависит только от концентрации узлов N и по соображениям размерности пропорционален Nl/3. Часто бывает удобным вместо rс говорить о пороговом значении безразмерного параметра , имеющего смысл среднего числа связей на один узел. Аналогичную двумерную задачу называют задачей окружностей. В этом случае удобно пользоваться величиной ,
где – число случайных узлов на единицу площади, а – двумерный перколяционный радиус.
В пределе очень большого rвз, когда в сферу взаимодействия попадает очень много узлов решетки и дискретность положения частиц больше несущественна, возникает задача сфер, с той только разницей, что значение rвз теперь задано, а ищется концентрация частиц (случайных узлов). Если обозначить через Z число узлов решетки, попадающих в сферу взаимодействия, то Zx есть среднее число черных узлов, связанных с данным узлом, и, очевидно, для всех решеток одной размерности .
В задачах на случайных узлах можно ввести критические величины, аналогичные параметрам решеточных задач узлов. Пусть ns — число кластеров из s узлов в некотором объеме, отнесенное к полному числу узлов объема. Тогда
Вблизи порога Вс
Ещё посмотрите лекцию "31 Организация и планирования расследования" по этой теме.
P(B) ∞ (B - Bc)β, S (B) ∞ | B - Bc | -γ
По аналогии с решеточными задачами можно ввести корреляционную функцию и радиус корреляции L. Вблизи порога
L (B) ≈ N -1/3 | B - Bc |-υ ,
где среднее расстояние между узлами N-1/3 фигурирует в качестве естественного масштаба длины. Радиус корреляции имеет смысл характерного размера критических кластеров, т.е., самых больших из тех кластеров, для которых величины ns еще не экспоненциально малы. Две последние формулы можно записать, введя вместо разности В — Вс безразмерную переменную (r — rс) / rс или, в более общем случае, (ξ — ξ с) / ξс . Например,
, или
Поскольку критические индексы не зависят от геометрии решетки, естественно считать, что они не изменяются и при переходе от решеток к случайному расположению узлов.