Wavelet фильтрация
Лекция 12 Wavelet фильтрация
Детализация сигнала
Введем обозначение: 
для любой функции 
. Положим 
.
Предложение. Если выполнено условие ортогональности, то при фиксированном 
функции 
образуют ортонормированную систему.
Доказательство. Имеем 
при 
. Нормированность проверяется очевидным образом с помощью замены переменных.
Обозначим через 
линейное пространство, порожденное функциями 
. Потребуем, чтобы имело место включение 
. Это весьма жесткое ограничение. Оно выполнено, например, для 
. Для произвольной функции 
положим
Вместе с этой лекцией читают "8 Проблемы разработки, связанные с HTML".
(1)
- проекция функции на пространство . Коэффициенты разложения это и есть дискретные wavelet преобразования. Чем больше индекс пространства, тем более точное приближение исходной функции с помощью 
получаем. Эта процедура и называется детализацией. Наложим на еще одно дополнительное условие: потребуем, чтобы 
. Последнее означает, что каждую функцию из 
можно приблизить с произвольной точностью подходящей функцией из . Заметим, что это выполнено для функции 
, поскольку каждую функцию из можно приблизить ступенчатой функцией. Как следствие получим, что это верно и для произвольной функции с носителем на интервале 
, с помощью которой можно приблизить функцию . Положим 
, где второе слагаемое есть ортогональное дополнение к первому. Теперь 
- прямая сумма попарно ортогональных пространств. Для так получается базис Хаара, о котором будет рассказано позже.
Wavelet фильтрация
Вычисление коэффициентов разложения является трудоемкой задачей. Покажем, каким образом она может быть упрощена с помощью фильтра специального вида. В силу сделанного предположения 
, поэтому имеем место разложение 
. Рассмотрим скалярное произведение 
=
. Коэффициенты в (1) можно найти следующим образом. Положим 
. Тогда 
=
(2)
Формула (2) представляет собой свертку последовательностей. Она позволяет найти коэффициенты разложение для меньших значений индексов , если известны коэффициенты разложения для больших значений. Ее можно рассматривать как применение фильтра специального вида с функцией отклика 
к источнику, которым являются коэффициенты разложения по большему индексу.
