Передаточная функция непрерывного и дискретного элемента
Передаточная функция непрерывного и дискретного элемента
Динамика линейного аналогового элемента описывается уравнением
|
(1) |
где x - входная переменная, y - выходная. Перейдя в (1), при нулевых начальных условиях, от переменных x(t), y(t) – функций времени к их изображениям по Лапласу X(s), Y(s), получим
где W(s) - передаточная функция элемента. Передаточную функцию можно получить из уравнения (1), введя оператор дифференцирования р = d/dt:
Применение преобразования Лапласа позволяет найти реакцию линейного элемента на входное воздействие любого вида без решения дифференциального уравнения. От аналитического выражения входной величины x(t) переходят к ее изображению по Лапласу X(s), затем, зная передаточную функцию, находят изображение выходной величины Y(s) = W(s) X(s), а по изображению Y(s) - его «оригинал», выходную величину y(t). При переходе от изображения к оригиналу и обратно пользуются свойствами и таблицей преобразования Лапласа.
В дискретной системе, где сигналы представлены решетчатыми функциями – значениями отсчетов, следующих обычно через равные интервалы времени Т, вместо дифференциального уравнения используют конечно-разностное уравнение. Приближенное конечно-разностное уравнение можно получить заменой dy/dt=(yk-yk-1)/T - с «отставанием» или dy/dt=(yk+1-yk)/T - с «опережением». В первом и втором случаях уравнение (1) приобретает, соответственно, вид (2) и (3)
Рекомендуемые материалы
аo yk + а1 yk -1 +… + аnyk - n = boxk + b1xk -1 +…+ bmxk –m, (2)
аo yk+n + а1 yk+n-1 +… + аnyk = boxk+m + b1xk+m-1 +…+ bmxm, m < n. (3)
В уравнении (2) для определения текущего значения выходной величины «y» необходимо знать n предыдущих ее значений и m последних значений входной величины «x» (влияние более старых значений xi учтено в yi). В уравнении (3) необходимо знать m начальных значений входной величины «x» (последующие значения не успели повлиять на выходную величину). В уравнениях (1-3) использованы одинаковые обозначения коэффициентов, но их значения разные.
Рекомендация для Вас - 2.3 Структура информационных систем - ИС.
Уравнения (2, 3) справедливы при малых Т. Чтобы снять это ограничение, применяют другие способы перехода от дифференциального уравнения к конечно-разностному. Вид уравнения сохраняется, значения коэффициентов – другие.
Если к уравнению (2) применить Z – преобразование ставящее в соответствие ряду чисел x(tк) = хк функцию комплексного переменного z, получим
где H(z) - дискретная передаточная функция. При этом использовано свойство сдвига
Из уравнения (3) будет получено другое выражение дискретной передаточной функции
(значения коэффициентов другие). В частном случае z=esT z-преобразование переходит в дискретное преобразование Лапласа. Оператор z-1=e-sT является оператором задержки сигнала на время Т. Формально дискретную передаточную функцию можно получить из (2) заменой yk-i=z-iyk, xk-i=z-ixk