Спектр сигнала
1.2 Спектр сигнала
Предположим, что сигнал представляет собой воздействие в виде периодической функции времени х(t) с периодом Т = 1/f, которую можно представить рядом Фурье:
(1.1)
где w=2pf0; j1,j2,j3 … - начальные фазы отдельных гармоник; Х1m, Х2m, Х3т , ...- их амплитуды,
(1.2)
здесь
; (1.3)
.
Смысл формулы (1.1) состоит в том, что любая периодическая функция х (t) может быть представлена суммой синусоидальных колебаний с частотами, кратными основной частоте w, и с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Отдельные слагаемые суммы (1.1) называются гармониками. Колебания основной частоты w1 называют первой гармоникой, колебание с частотой w2 - второй гармоникой и т. д.
Рекомендуемые материалы
Постоянная составляющая
(1.4) представляет собой среднее значение функции х(t). Совокупность величин Xkm называется спектром амплитуд; совокупность величин jk - спектром фаз. Чаще всего интересуются только спектром амплитуд и называют его для краткости просто спектром. Графически спектр изображают в координатах Cm, w (рис. 1.6). Длины вертикальных отрезков представляют собой амплитуды соответствующих гармоник; эти отрезки называют спектральными линиями, а сам спектр - линейчатым.
В общем случае сумма (1.1) является бесконечным рядом. Но в действительности для всех сигналов число членов ряда, а следовательно, и число спектральных линий конечно, так как амплитуды гармоник, начиная с некоторого номера, становятся настолько малы, что ими можно пренебречь, не нарушая смысла сообщения. Таким образом, сигналы в системе управления и связи практически всегда представляются функциями с ограниченным спектром.
Интервал частот, в котором размещается ограниченный спектр, называется шириной спектра. Ограничение спектра производят, исходя из допустимого искажения сигнала, так, чтобы не потерять содержащуюся в нем информацию.
В качестве примера рассмотрим амплитудно - модулированный сигнал
(1.5)
Вместе с этой лекцией читают "Организация и формы оплаты труда".
в котором х(t) описывается выражением (1.1). Обычно частота wнес на один - два порядка превышает высшую гармонику nw 1 сигнала x(t), поэтому говорят, что амплитуда несущих колебаний медленно меняется в соответствии с сигналом, а высокочастотные колебания являются переносчиком информации. Например, сигнал медленноменяющегося постоянного тока x(t) не может пройти через емкостную цепь, но легко может быть передан в нагрузку посредством амплитудной модуляции с последующей демодуляцией его.
Как видно из (1.5), амплитудная модуляция осуществляется в результате нелинейного преобразования сигнала - умножения гармонического колебания с постоянной амплитудой U0 и сигнала х(t). В результате получается негармоническое колебание, имеющее сложный спектр. Чтобы представить его, упростим задачу, положив x(t) = cos Ωt. После подстановки х(t) в выражение (1.5) и перемножения функций получим
(1-6)
Иначе говоря, AM-колебание содержит три составляющие: колебание несущей частоты и два колебания с частотами ± Ω, которые называются боковыми частотами. Спектр АМ- колебаний состоит из трех линий (рис. 1-3, б). В общем случае при AM ширина спектра равна удвоенной ширине спектра модулирующей функции (точнее, удвоенной высшей частоте этого спектра). Амплитуда боковых частот пропорциональна , т. е. глубине модуляции; при отсутствии модуляции боковых частот нет, а при наиболее глубокой модуляции амплитуды боковых частот равны половине амплитуды несущей.
При частотной модуляции (ЧМ) амплитуда несущих колебаний постоянна, а приращение, пропорциональное х(t), получает частота несущих колебаний wнес=w0+Dwx(t); при фазовой модуляции фаза колебаний φ=φ0+Dφx(t). (Здесь Dw и Dφ - частотное и фазовое отклонения, которые определяют глубину модуляции и выбираются по усмотрению проектировщика).
Форма напряжения сигнала несущей с ЧМ приведена ранее, на рис. 1.1-в. Аналогичным будет и сигнал с ФМ. Модулирующая функция х(t) изменяется по треугольному закону (рис. 1.1-а). ФМ можно рассматривать как разновидность ЧМ и наоборот. Ширина спектра ЧМ-колебаний может быть определена как 2Dw и называется также полосой качания, так как в процессе модуляции частота может принимать любое мгновенное значение в интервале w0±Dw. При AM ширина спектра не зависит от интенсивности модулирующего сигнала, а при ЧМ - прямо пропорциональна амплитуде модулирующих колебаний.