Элементы специальной теории относительности

Лекция № 6

Элементы специальной теории относительности.

План.

1. Принцип относительности Эйнштейна: постулат относительности, постулат постоянства скорости света. Роль скорости света. Преобразования Лоренца.

2. Лоренцево сокращение длины и замедление времени.

3. Релятивистский импульс. Взаимосвязь массы и энергии.

1) Принцип относительности Эйнштейна.

Классическая механика, основанная на законах Ньютона справедлива  только для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в пустоте (). Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, Эйнштейн создал релятивистскую механику (relativus (лат.) – относительный). Различают специальную (являющуюся предметом нашего рассмотрения) и общую теорию относительности. Специальная означает рассмотрение явлений в инерциальных системах отсчёта.

         В основе теории – принцип относительности, состоящий из двух постулатов:

Рекомендуемые материалы

         1. Постулат относительности. Все законы природы и уравнения, их описывающие, инвариантны, т.е. не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (Замечание: неизменность вида уравнений при замене координат и времени одной системы отсчёта координатами и временем другой системы называется инвариантностью).

         2. Постулат постоянства скорости света. Скорость света в вакууме не зависит от движения источника и приёмника света и одинакова во всех направлениях, т.е. скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

         Роль скорости света. Скорость света  занимает особое положение в природе. В отличие от всех других скоростей, меняющихся при переходе от одной системы к другой, скорость света в пустоте является инвариантной величиной. Из постулатов Эйнштейна следует, что скорость света в  вакууме является предельной: никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превосходящей скорость света в вакууме.  Именно предельный характер этой скорости и объясняет одинаковость скорости света во всех системах отсчёта (Значение предельной скорости должно быть одинаково во всех инерциальных системах отсчёта).

         Преобразования Лоренца. (голландский физик 1853 – 1928 гг.)

         Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта К и . Пусть система  движется относительно системы К со скоростью  (Рис. 6.1).

точке с координатами  произошло некоторое событие, например, вспыхнула лампочка.

         Преобразования Лоренца дают связь координат  и момента времени события  системы  с координатами  и моментом времени t в системе К (прямые преобразования) и наоборот (обратные преобразования).  Приводим их без вывода.

где .

2) Лоренцево сокращение длины.

Расположим неподвижный в системе  стержень вдоль оси  . Пусть длина стержня в  –  системе  равна  (собственная длина стержня). В К – системе, относительно которой стержень движется, его длину определяют как расстояние  между координатами   и  его концов в один и тот же момент времени . Воспользовавшись прямыми преобразованиями Лоренца, получим:

,  вычитаем одно уравнение из другого:

, или

т.к. , то .

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется  оказывается меньше длины , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Это явление называется лоренцевым сокращением длины.

         Замедление времени.

         Пусть в точке , неподвижной относительно системы , происходит событии, длящееся время . Относительно системы К начало и конец события (согласно обратным преобразованиям):

, вычитая из второго уравнения первое, получим:

.

Обозначим длительность события в системе К  , тогда

 т.к.  , тогда .

Время , считаемое по часам, движущемся вместе с телом, называется собственным временем тела. Таким образом, время, отсчитанное по часам, относительно которых система движется, всегда больше собственного времени (замедление времени).

         Соотношение  получило непосредственное экспериментальное подтверждение. Среднее время жизни  –мезонов в  условиях, когда они неподвижны (собственной время) порядка ~ . Образуются  –мезоны при взаимодействии космических лучей с атмосферой на высоте ~км.

         Двигаясь со скоростью света (оценка «сверху»)  – мезоны могут пройти путь лишь порядка 600 м. Однако, они регистрируются и на Земле. Дело в том, что время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с Землёй, оказывается гораздо большим ( близка к с) и пробег мезонов составляет ~ 30 км и  они достигают Земли.

         В своё время недоверчивым скептикам Эйнштейн предлагал проделать мысленный эксперимент.

3) Релятивистский импульс.          

Ньютоновское выражение импульса

. В релятивистской теории выражение для  импульса, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса и переход в ньютоновскую форму при , получается, если заменить время dt собственным временем частицы , тогда

         .

В такой форме выражение:

называется релятивистским импульсом.  При  релятивистское выражение переходит в ньютоновское . Постоянная величина  называется массой покоя, поскольку является мерой инертности при нулевой скорости. Величина

называется релятивистской массой.

         Взаимосвязь массы и энергии.

Используя выражение для релятивистского импульса запишем релятивистское уравнение движения:

 Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, умножим уравнение  на перемещение частицы :

Правая часть этого соотношения даёт работу , совершаемую над частицей за время dt. Из закона сохранения энергии следует, что работа, совершённая над частицей должна быть равна приращению энергии частицы dE, то есть .

         Поэтому можно написать:

.

         Опуская дальнейшее преобразования, являющиеся весьма непростыми, и некоторые любознательные читатели могут  найти в более полных курсах физики, например, [1], [2], приведём результат преобразований:

                                     .

Интегрирование полученного соотношения даёт:

         Физический смысл этой формулы: полная энергия тела E (системы тел), из каких бы видов энергии она не состояла (кинетической, электрической, химической и т.д.) связана с массой этого тела соотношением . В полную энергию не входит потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковая действует на тело.

         В том случае, когда тело покоится (), то оно обладает энергией

которая называется энергией покоя. Из соотношения  вытекает, что энергия тела и его масса пропорциональны друг другу. Всякое изменение энергии тела  (за исключением изменения потенциальной энергии во внешнем поле сил) сопровождается изменением массы тела и наоборот.

Это утверждение называется законом  взаимосвязи массы и энергии.

Пример. Рассмотрим реакцию деления ядер урана  при захвате медленных нейтронов:

Суммарная масса покоя урана-235 и нейтрона превосходит суммарную массу покоя частиц в правой части () на  кг. Отвечающая этому избытку массы энергия

Дж. (на одну пару взаимодействующих частиц) превращается в кинетическую энергию образующих частиц и в энергию возникающего при делении электромагнитного излучения.

         Создание атомных электростанций (как, впрочем и создание атомной бомбы) стало возможным в частности благодаря теоретической основе – полученному Эйнштейном соотношению . Это позволило нобелевскому лауреату Максу Борну заявить, что: "идеи Эйнштейна дали физической науке импульс, который освободил её от устаревших философских доктрин и превратил в одну из решающих сил современного мира людей".

Литература:

         1. Иродов.И.Е. Механика. Основные законы. – М – С – Пет.: Физматлит, 2000. – 320 с.

Бесплатная лекция: "ТЕМА 5. Обязанности и ответственность работников по соблюдению требований" также доступна.

         2. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3 т. т.1 – М.: Наука, 1987. – 432 с.

         3. Сивухин Д.В. Общий  курс физики. В 5 т. Т.1 – М.: Наука, 1974. – 519 с.

         4. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. Шк., 1990. – 478 с.

         5. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высшая школа., 1976. – 416 с.

         6. Кунин В.Н. Конспект лекций по трудным разделам физики. – Владимир, изд. ВПИ., 1982. – 52 с.

         7. Физика. Программа, методические указания и задачи для студентов – заочников (с примерами решения). – Владимир, Владим. Гос. Ун-т; Сост. А.Ф. Галкин, А.А. Кулиш, В.Н. Кунин, В.С. Плешивцев; Под ред. А.А. Кулиша, 2002. – 128 с.