Основы гидростатики

Основы  гидростатики

         Гидростатика изучает условия равновесия покоящейся жидкости. Силы, действующие в жидкости (в том числе в покоящейся) подразделяются на объемные (массовые) и поверхностные. Объемные силы обычно относят к единице массы жидкости, а поверхностные – к единице площади поверхности.

         2.1 Дифференциальные уравнения гидростатики Эйлера

         Рассмотрим условия равновесия малого кубического объема покоящейся жидкости (рисунок 2.1).

            Рисунок 2. 1- К вопросу о равновесии частицы покоящейся жидкости (показаны силы давления)

         Пусть R – [H/кг] – объемные силы (веса, инерции), отнесенные к единице массы жидкости, действующие на частицу dm (на рисунке 2.1 не показаны). Их можно представить проекциями R_x,, R_y, R_z  на координатные оси x,y,z. Например, объемная сила, действующая на массу жидкости dm  в направлении оси x равна

         R_xdm = R_x r dxdydz, [H]

где    dx,dy,dz = dV - объем массы жидкости dm =  r dV.

Рекомендуемые материалы

         Поверхностная сила DF [H], действующая на площадку – грань Df_i данного объема может быть разложена на нормальную DF_n и касательную DF_t составляющие. Однако касательные силы всегда вызывают движение жидкости. Поэтому в покоящейся жидкости касательные напряжения (в том числе вязкие t,см. (1.5)) отсутствуют. Нормальные же составляющие создают напряжения, называемые гидростатическим давлением:

         p = lim  [Па º H/м²].                                                          (2.1)

                Df®0

         Давление всегда действует по направлению внутренней нормали к поверхности жидкости (рисунок 2.1) при любых ее ориентациях. Действительно, если любой предмет (не обязательно жидкий объем) самой сложной формы погружен в покоящуюся жидкость, то силы гидростатического давления сжимают его в любой точке, действуя по направлению внутренней нормали.

         Итак, в покоящейся жидкости возникают только напряжения сжатия p, одинаковые  в каждой точке жидкости по всем направлениям (закон Паскаля).

         Для сохранения сплошности капельной жидкости давление в ней не может быть ниже значения p_H - давления паров данной жидкости, насыщающих пространство при данной температуре (см. таблицу 2.1).

Таблица 2.1 - Значения давления p_H насыщенных паров в зависимости от температуры для воды

При понижении давления ниже значения p_H жидкость вскипает (см. раздел о кавитации). Таким образом, гидростатическое давление – величина всегда положительная.

         Вернемся к рисунку 2.1. На элемент поверхности df_x= dydz (c нормалью вдоль оси x) действует сила давления

         pdf_x = pdydz,  [H].

Если df_x – левая грань малого кубического объема dV = dxdydz, то на противоположную (правую) грань, отстоящую на расстоянии dx, действует сила давления

         – (p +  dx) dydz,

направленная также по внутренней нормали, противоположно оси x (знак " – ").

         Суммируя все силы, направленные вдоль оси x, объемные и поверхностные, получим условия равновесия сил. действующих на малый кубический объем по оси x в виде:

         R_xr dxdydz = pdydz – (p +  dx) dydz = 0,

или ( деля на r и на dV = dxdydz) для сил, действующих на единицу массы в направлении этой оси:

         R_x –  = 0.

Аналогично для направлений по осям y и z:

                                                                                   (2.2)

         То же самое более кратко можно записать для " i " – ой оси: ^*)

                R_i –  = 0,

где,  i = 1,2,3                                                        i ® x,y,z.

                                                 или                                                           (2.2¹)

      x_i = x₁; x₂; x₃                                                                                     x_i  ® x,y,z.

То же в векторном виде:

          R  –    Ñ p = 0,                                                                     (2.2¹¹)

где

         Ñ º i + j  + k º i Ñ_x  + j Ñ_y + k Ñ_k                         (2.3)

– дифференциальный векторный оператор Гамильтона, обозначаемый греческой буквой Ñ – " набла".

____________________________

            *) Это так называемая тензорная форма записи уравнения.

Величина

         Ñp º gradp º i  + j  + k                                   (2.4)

называется градиентом давления. Это векторная величина (равная "произведению" "вектора" Ñ и скаляра p), направленная в пространстве в сторону наиболее быстрого увеличения p, модуль которой характеризует быстроту увеличения p от точки к точке в этом направлении.

         Уравнения (2.2), (2.2¹), (2.2¹¹) являются разновидностями дифференциального уравнения гидростатики Л. Эйлера (1755).

         Если каждое из уравнений (2.2) умножить соответственно на dx, dy, dz и сложить, получим еще один вид этого уравнения, содержащий полный дифференциал гидростатического давления:

         R_xdx + R_ydy + R_zdz =  dp,                                      (2.2¹¹¹)

где            dp =  dx +   dy +   dz.

Уравнения гидростатики Эйлера выражают условие равновесия объемных и поверхностных сил в покоящейся жидкости.

^2.2  Основное уравнение гидростатики (для тяжелой жидкости в поле сил тяжести). ^*)

                Рассмотрим равновесие несжимаемой (r = const) жидкости в поле сил тяжести, когда R_x = R_y = 0; R_z = - g.

_________________________

            *) Аналогичное уравнение для газа в поле силы тяжести (барометрическая формула) рассматривается обычно в курсе общей физики. Она выражает закон изотермического распределения для молекул газа в силовом поле с высотой.

Это очень простая формула равновесия (известная из начального курса физики) может быть выведена из уравнения Эйлера в форме (2.2¹¹¹). В данном случае оно принимает вид:

         – gdz =  dp,

или, вводя g  = gr , и интегрируя, получим

         p = – gz + C

Постоянную интегрирования С можно определить из условия на поверхности жидкости z = z_o, где давление  p = p₀, откуда C = p₀ +  +gz_0. Если глубину погружения в жидкость обозначить через h = z₀ – z,  то на этой глубине

         p = p_o + hg.                                                                            (2.5)

Это и есть основное уравнение гидростатики.

         В частном случае, если жидкость имеет свободную поверхность, давление p_o над которой равно атмосферному, т. е.

         p_o= p_a                   при h = 0.

Таким образом, давление на глубине h складывается из давления на поверхности и давления столба жидкости высотой h - избыточного давления hg (рисунок 2.2).

                                   

Рисунок 2.2.Иллюстрация к формуле (2.5)

         Из уравнения (2.5) следует, что давление может измеряться высотой столба жидкости h. На этом основано использование сообщающихся сосудов для измерения давления. Таковы пьезометры, жидкостные барометры и манометры, микроманометры.

         В пьезометре (рисунок 2.3a) давление p внутри сосуда измеряется по высоте подъема жидкости h в открытой трубке. В данном случае

p_ман  = p_изб = p – p_a - манометрическое  давление – превышение давления над атмосферным p_a (рисунок 2.4). Абсолютное давление  p = p_a + gh.

Рисунок 2.3 Схема а)пьезометра; б)микроманометра; в)вакуумметра.

Микроманометр (рисунок 2.3б) – это пьезометр, в котором измерительная трубка наклонена под небольшим углом a к горизонтали; незначительные изменения давления заметно изменяют длину L столба жидкости в измерительной трубке микроманометра, что повышает точность измерений.

         Если в трубке пьезометра уровень жидкости ниже, чем в сосуде, слагаемое gh в уравнении (2.5) имеет знак "минус" и называется вакуумом – недостатком давления до атмосферного (рисунок 2.4). Пьезометр, измеряющий глубину вакуума, называется вакуумметром (рисунок 2.3.в).

         Помимо жидкостных приборов, для измерения давления  используются механические манометры с упругими чувствительными элементами (пружинные, мембранные).

Рисунок 2.4 - Схема отсчета избыточного (манометрического)

 давления p_изб и вакуума p_вак от атмосферного (барометрического) p_a

         За единицу давления в Международной системе единиц (СИ) принят паскаль [Па] – давление, вызываемое силой 1H, равномерно распределенной по площади 1м². Применяются и укрупненные единицы – килопаскаль [кПа] и мегопаскаль [МПа].

         1Па = 1 H/м² = 10^-3 кПа = 10^-6 МПа

         2.3 Сила давления капельной (тяжелой) жидкости на стенки

         Практический интерес представляет вычисление величины силы избыточного  давления, создаваемого весом столба жидкости над каждым погружаемым элементом поверхности стенки df (сила барометрического давления – постоянное слагаемое, уравновешиваемое из - за двухстороннего действия).

         Величина силы избыточного давления на элементарную площадку df на глубине h (рисунок 2.5)  в соответствии формулой (2.5) равна

         dF_изб  = p_избdf  = g hdf,

а на всю площадь f стенки

         F_изб = g ò hdf,

где  ò hdf –статический момент плоской фигуры f, равный произведению площади f на глубину погружения h_c геометрического центра тяжести С фигуры:

         ò hdf = h_c f

         f

Рисунок 2.5 К вопросу о давлении жидкости на стенку.

         Таким образом. величина силы избыточного давления

         F_изб = g h_c f = p_{изб с} f,                                                       (2.6)

где p_{изб с} – гидростатическое  избыточное давление в геометрическом центре тяжести фигуры.

         Например, если фигура – прямоугольный щит шириной b_o  и длиной l_o, установленный под углом a  к поверхности жидкости, то

         F_изб =  g h_c f =  g b_o l_o sina = g b_o l_o² sina                (2.6¹)

         Положение центра давления – точки D приложения равнодействующей  сил давления можно определить из условия равенства момента равнодействующей силы давления относительно оси, проходящей через точку О (перпендикулярно плоскости рисунка 2.5), сумме моментов составляющих сил:

         F_изб l_D  = ò ldF_изб = g ò lhdf,

                             f                                   f   

где l_D – расстояние точки D от точки О; l – расстояние от оси, проходящей  через точку О, до элемента поверхности df на глубине h.

         Подставляя полученное выше значение F_изб, получим:

         g h_c f l_D  = g ò lhdf,

                                                  f

или, учитывая, что h_c = l_c sina и h = lsina,  получим (после сокращения на sina ) :

         l_c fl_D  =  ò l² df,

                                      f

где ò l² df  = J_o – геометрический момент инерции фигуры f относительно

          f

оси, проходящей через точку О. Величина J_o выражается через момент инерции J_с относительно оси, проходящей через центр тяжести С фигуры f по известной формуле

         J_o = J_c + l_c² f

        Тогда выражение для искомой величины l_D  можно записать в виде

         l_D =  =   + lc                                                                                 (2.7)

Величина, равная расстоянию между точками С и D

         e =                                                                            (2.8)

называется эксцентриситетом давления.

         Из уравнения (2.7) видно, что центр давления D всегда лежит ниже центра тяжести С на величину e .

        Для  прямоугольного щита (упоминавшегося выше, у которого

  J_c =  ;  l_c= ;  f = l_o b_o ) координата центра давления

         l_D = l_c  +  =  l_o                                                           (2.7¹)

         Равнодействующая сил давления на криволинейную стенку определяется суммированием сил давления на элементарные площадки, которые можно считать плоскими. Обычно определение равнодействующей в этом случае сводится к нахождению ее составляющих по координатным осям.

         2.4 Подъемная сила, действующая на погруженное в покоящуюся жидкость тело (сила Архимеда F_A)

         Легко убедиться, что сила эта F_A равна весу вытесненной жидкости

         F_A = g V_T,

направлена вертикально вверх и приложена в геометрическом центре тяжести вытесненного объема V_T жидкости (закон Архимеда). Это становится понятным, если мысленно вместо погруженного тела (части тела) поместить ту же жидкость. Очевидно, что такая система будет находиться в равновесии, хотя на помещенную жидкость и убранное тело (часть тела) действуют те же силы давления со стороны окружающей жидкости. Их равнодействующая (сила Архимеда, сила поддержания) уравновешивается весом мысленно помещенной вместо тела жидкости. Эта сила веса приложена в геометрическом центре тяжести вытесненного объема V_T – центре водоизмещения.

         В зависимости от соотношения веса тела G и силы Архимеда F_A , возможны три случая  (рисунок 2.6):

         1) G > F_A  – тело тонет;

1. Общая характеристика системы кровообращения - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

         2) G < F_A  – тело всплывает;

         3) G = F_A – тело плавает.

Рисунок 2.6 Возможные соотношения силы веса тела G и силы Архимеда F_A.

         Для поддержания равновесия плавающего тела помимо равенства сил 

G = F_A необходимо равенство нулю и суммарного момента сил. Это выполняется, если центр тяжести тела лежит на одной вертикале с центром водоизмещения.