Прохождение частицы через потенциальный барьер
§ 4.3. Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Выше уже было показано, что даже если энергия частицы меньше энергии потенциального барьера, то всё равно существует не нулевая вероятность обнаружить частицу по другую его сторону. Рассмотрим этот случай немного более подробно.
Область пространства, в которой потенциальная энергия больше, чем в окружающем пространстве называется потенциальным барьером. В случае, представленном на рисунке, энергия потенциального барьера определяется таким образом: 
. Будем рассматривать одномерный случай. В случае многомерной потенциальной ямы уравнение Шредингера придётся записывать просто для каждой координаты. Таким образом, не ограничивая общности, мы можем рассматривать одномерный случай. Если частица, имеющая энергию 
, движется в области I, в направлении оси 
, то в классической механике, если 
, то частица не сможет преодолеть потенциальный барьер, отразится и изменит направление своего движения на противоположное. В квантовой механике вероятность прохода частицы существует. Явление прохода частицы во вторую и третью зоны называется туннельным эффектом. Туннельный эффект характеризуется коэффициентом пропускания барьера: 
и коэффициентом отражения 
. Так как частицы не могут оседать на стенках ямы, то 
. Найдём эти коэффициенты. Рассмотрим уравнения Шредингера, описывающие состояние частицы в первой, второй и третьей областях.
1. 
, где 
.
2. 
, где 
.
3. 
, где 
.
Решения этих уравнений имеют соответственно вид1:
Рекомендуемые материалы
1. Так как существует вероятность того, что частица будет двигаться как по направлению оси , так и против, то решение будет содержать два слагаемых, описывающих движение частицы, происходящее сонаправлено с осью и в противоположную сторону: 
.
2. 
.
3. В данном случае движение начинается с точки 
и происходит сонаправлено с осью . Поэтому решение уравнения примет вид: 
.
Вместе с этой лекцией читают "Развитие форм общения".
Получим теперь квантово-механическое выражение для интенсивности. По определению интенсивности можно записать: 
. Представим 
через объём и длину области:
. Тогда 
. Здесь 
– скорость движения частицы в данном направлении. Очевидно, что число частиц в данной области пространства пропорционально плотности вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства: 
. Данный интеграл даёт значение близкое к единице. Поэтому, 
. Подставляя последнее выражение в формулу для импульса, получим: 
. Распишем скорость частицы через её импульс: 
, где 
– волновое число. Тогда 
. В последних четырёх формулах под 
подразумевается один из пяти коэффициентов, стоящих перед экспонентами в решениях уравнения Шредингера. Тогда для интенсивности падающих частиц имеем:
, для интенсивности прошедших – 
и для интенсивности отражённых – 
. Таким образом, используя данные выше определения коэффициентов пропускания и отражения для барьера, можно записать: 
и 
. Получим теперь соотношения между коэффициентами в решении уравнения Шредингера: 
. Будем исходить из того, что волновая функция – непрерывная и гладкая функция. Поэтому выполнены следующие 4 условия: 
. Подставляя значения функций и их первых производных в заданных точках, получим следующую систему: 
. Решая её, получим: 
, где 
. Сравнивая полученные выражения, можно заметить, что так как
, то 
, поэтому мы можем положить 
. Исходя из этого допущения, остальные соотношения запишутся довольно легко:
. Таким образом, для 
имеем: 
. Подставляя в полученное ранее соотношение для , приведём это уравнение к следующему виду: 
, или 
. 
же легко определить из соотношения : 
, или 
. Если коэффициент пропускания не слишком мал, то есть 
, мы можем оценить ширину барьера, при которой сквозь него будут проникать частицы: 
, 
. Подставляя численные значения, получим 
.
Распространим теперь наши рассуждения на барьер произвольной формы. В этом случае барьер аппроксимируется малыми прямоугольными барьерами шириной . Выражение для в этом случае будет иметь вид: 
.
Возможность прохождения частицы через потенциальный барьер объясняет холодную эмиссию электронов из металла. Для удаления электронов из металла необходимо затратить некоторую определённую работу. Потенциальная энергия электронов вне металла больше, чем потенциальная энергия внутри металла, причём на границе раздела металл – вакуум потенциальная энергия резко возрастает. Внутри металла в устойчивом состоянии электроны занимают уровни с минимальной энергией. Если вблизи металла имеется электростатическое поле, которое стремится вырвать электроны из метала, то электроны будут стремиться покинут металл. Это явление называется холодной эмиссией электронов. В рамках классической механики объяснить его невозможно, так как поле в металл не проникает, то изменение потенциальной энергии возможно лишь вне металла, а чтобы покинуть металл электроны должны преодолеть потенциальный барьер, но их энергия меньше высоты барьера, поэтому частицы за него проникнуть не могут. Считалось, что электрическое поле понизит высоту потенциального барьера и электроны смогут выходить из металла. Но тогда тока эмиссионных электронов будет достаточно большой, а экспериментально это не наблюдалось. Таким образом, это явление объясняется туннельным эффектом. Тогда коэффициент пропускания такого барьера будет пропорционален 
, где 
. Здесь 
– напряжённость внешнего электрического поля. Очевидно, что плотность тока должна быть пропорциональна коэффициенту пропускания барьера: 
. Таким образом, плотность определяется по экспоненциальному закону: 
. Когда мерили зависимость 
, получилось хорошее согласие с теорией.
Ещё одно явление, механизм которого стал понятен благодаря туннельному эффекту – это 
– распад. Так называется самопроизвольное (с точки зрения наблюдателя) вырывание – частиц из ядра. Существует уравнение – распада: 
, где 
– некоторый коэффициент, а 
– полное число частиц. Коэффициент принимает для различных веществ довольно широкий круг значений. Рассмотрим расстановку сил внутри атома. Известно из опыта, что при – распаде энергия вылетевших – частиц довольно мала. В то же время, внутри атома между протонами должна действовать колоссальная сила Кулона, которая стремится разорвать атом. Тем не менее, атом сохраняет свою целостность благодаря силам, которые получили название ядерных. Эти силы весьма короткодействующие, но на межнуклонном расстоянии их оказывается достаточно, чтобы «побороть» силы Кулона. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия частиц в ядре будет отрицательной. В тоже время, при незначительном удалении от центра атома, в ход вступает сила Кулона. Её действие на таких расстояниях полностью нейтрализует действие ядерных сил. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия – частиц будет положительной. Таким образом, имеет место быть некоторая потенциальная яма (см. рис. 45). Здесь даны следующие приближения: стенки потенциальной ямы имеют строго вертикальный вид. На самом же деле края ямы несколько более пологи, но в нашем рассмотрении это не играет никакой роли. В классическом рассмотрении – частица не может преодолеть потенциальный барьер, так как обладает небольшой энергией. Если же считать, сто основную роль в – распаде играют силы Кулона, то энергия вылетевших – частиц должна быть довольно высокой. На опыте же такой факт не имел места. Квантовая же механика определяет вероятность прохождения частицей потенциального барьера как не нулевую. То есть, частица преодолеет потенциальный барьер, даже обладая небольшой энергией. На опыте как раз и наблюдались – частицы с небольшими энергиями.
1 Решения были получены выше.
