Операторы, порождаемые вероятностями перехода МПШ
§2. Операторы, порождаемые вероятностями перехода МПШ.
2.1. Пусть – множество всех конечных мер на и . Пусть - семейство переходных вероятностей некоторого марковского процесса в широком смысле. Обозначим
, (5)
где
(6)
для любых и. Ясно, что - двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует закон композиции операторов . Действительно, пусть , тогда в силу соотношения Чепмена-Колмогорова и теоремы Фубини, имеем:
Следовательно
. (7)
Рекомендуемые материалы
2.2. Определим, теперь, второе семейство операторов. Пусть - множество измеримых ограниченных функций на со значениями в. Положим , т.е. . Из определения вероятности перехода следует, что - измеримая по функция. Если в ввести норму , то, очевидно, . Следовательно,– двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова при следуют равенства
Стало быть, закон композиции операторов имеет вид
(8)
Очевидны следующие свойства оператора:
1), 2).
2.3. Определение. МПШ называется однородным (ОМПШ), если зависят только от разности , т.е.
(9)
Поэтому удобно ввести обозначение .
Лекция "1. Действия электрического тока на организм человека" также может быть Вам полезна.
Для ОМПШ соотношение Чепмена-Колмогорова будет иметь вид:
В этом случае семейства операторов не зависят от и поэтому вместо двухпараметрического семейства операторовестественно рассматривать однопараметрические семейства , определенные по правилам,:
Очевидно, что:
. (10)