Существование случайных последовательностей
§ 2 Существование случайных последовательностей.
2.1. Чтобы построить случайную последовательность, надо сконструировать вероятностную меру на его траекториях. Существует два подхода к решению этой проблемы:
1) основанный на переходных вероятностях;
2) основанный на непосредственном задании случайного процесса.
2.2. В данном пункте мы построим марковский процесс (с дискретным временем) с помощью переходных вероятностей. Без ограничения общности, можно считать, что 
= (
).
Пусть задано семейство переходных вероятностей {Р(s,
t,B)} и справедливо соотношение Чепмена – Колмогорова. Предположим еще, что задана также вероятностная мера 
на . Тогда существует вероятностное пространство 
и случайная последовательность (
,
)t>0 на нем такие, что для любых 
.
Таким образом определенный марковский процесс (,)t>0 называют марковским процессом с начальным распределением 
и семейством переходных вероятностей {Р(s,t,B)}. Это построение обобщает следующая теорема о существовании случайной последовательности.
Рекомендуемые материалы
Теорема 2. (Ионеску-Тулчи). Пусть 
- произвольные измеримые пространства и 
, а 
. Пусть на (
) задана вероятностная мера Р1 и для каждого набора 
на 
заданы вероятностные меры Р
, которые для каждого В
являются борелевскими функциями от 
), причем для любых 
.
Тогда на 
существуют: 1) единственная вероятностная мера Р такая, что для любого 
(3)
2) случайная последовательность Х=
такая, что
(4)
Доказательство этого утверждения читатель может найти в ряде известных руководств [1,3].
Пример: Пусть 
={1,2,…}, Рк(x,y) – семейство неотрицательных функций 
, x,y
, таких, что 
Пусть 
распределение вероятностей на (
). Тогда существуют и семейство случайных величин Х={
на нем таких, что
P(
В качестве элементов Ω можно взять 
. Такая последовательность случайных величин Х={ называется марковской цепью со счетным множеством состояний и матрицей переходных вероятностей {Рк(x,y)}, и начальным распределением 
2.3. В данном пункте мы приведем методику непосредственного задания марковской случайной последовательности.
Пусть Ф: 
измеримая по Борелю функция, обозначаемая через Ф(t,x,y), где 
и 
– полные, сепарабельные, метрические пространства. Последовательность {Xt}t>0 со значениями определим с помощью рекуррентного соотношения
, 
, (5)
где (
последовательность случайных элементов, принимающая значения в 
. Соотношение (5) называется процессом, определенным рекуррентно. Положим, что 
- нормированное пространство с нормой 
. Возникают два вопроса:
1) является ли Xt для любого t 
измеримым;
2) 
| 
Р - п. н.
Определение. Под сильным решением процесса, определенного рекуррентно, будем понимать последовательность 
измеримую относительно 
алгебры 
такую, что : а) Р( 
|)=1; б) она обращает (5) в тождество с вероятностью 1.
Определение. Будем говорить, что (5) имеет единственное сильное решение, если из того что существуют 
i=1,2 – два сильных решения соотношения (5), причем 
(т.е. они начинаются из одной точки), то Р(
для любого 
Теорема 3. Пусть Ф: 
, где – линейное нормированное пространство, удовлетворяющее условиям:
1) ||Ф(t,x,y) – Ф(t,z,y)||
2) ||Ф(t,0,y)|| 
.
Тогда: а) если выполнено 1), то решение (5) единственно; б) если выполнены 1) и 2) и Р - п. н. 
, то существует сильное решение (5).
Замечание 1. Поясним смысл условий теоремы 3. Очевидны неравенства:
||Ф(t,x,y)|| = ||Ф(t,0,y)+ Ф(t,x,y)- Ф(t,0,y)||
||Ф(t,0,y)||+ ||Ф(t,x,y) - Ф(t,0,y)|| L+L||x|| = L(1+||x||) ( т.е. допустим рост по х не быстрее, чем линейный).
Доказательство. а) Пусть имеются два сильных решения, начинающихся на одной точке , имеем Р - п. н.
Значит, 
Р - п. н. для 
.
б) Заметим, 
Следовательно, если 
Р - п. н. – конечно, то 
Р-п. н.
Замечания. 1) Пусть 
удовлетворяет (5), и 
Если (5) имеет единственное сильное решение, то справедливо Р - п. н. 
для 
2) Обозначим Р(s,,t,B)
= P(t,
,B) – переходную вероятность за один шаг. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует, чтобы построить переходную вероятность за t шагов, достаточно знать переходную вероятность за один шаг.
2.4. Установим условия, выполнение которых гарантирует, что процесс, определенный рекуррентно, является марковским.
Теорема 4. Пусть выполняются условия: 1) рекуррентное соотношение (5) имеет единственное сильное решение, 2) 
последовательность независимых в совокупности случайных величин (со значениями в 
), 3) 
не зависит от 
. Тогда 1) последовательность 
- 
-измерима при каждом t и 
- марковская, 2) переходная вероятность за один шаг имеет вид 
Доказательство. Нам надо доказать, что Р - п. н.
.
Рассмотрим сначала левую часть этого равенства в силу замечания 1.3.1 Р-п.н. 
=
.
Так как 
- сильное решение (5), то 
-измеримо, то по теореме Бореля для каждого t существуют функции 
такие, что Р - п. н. 
. Поэтому, в силу условий 2), 3) имеем Р - п. н.
== 
=
= 
= 
.
Отсюда следует, что Доказательство закончено.
2.5. Примеры процессов, определенных рекуррентно.
1) Пусть 
=0, где 
-последовательность независимых (в совокупности) величин. В силу теоремы 4 является марковской последовательностью.
2) Дискретная модель диффузии. Рассмотрим рекуррентное соотношение:
, (6)
где 
- измеримые по Борелю функции, - последовательность независимых в совокупности случайных величин, причем 
. (6) имеет единственное сильное решение, если выполнены условия:
а) 
б) 
Пусть 
, а 
В этом случае удовлетворяет рекуррентному соотношению
, 
. (7)
Покажем, что 
, причем
, 
;
Действительно. Обозначим 
, из рекуррентного соотношения (7) следует
М[]=
=
.
Информация в лекции "6.11. Правила построения диаграмм" поможет Вам.
Ясно, что 
.
Из определения дисперсии имеем 
. Получили рекуррентное соотношение для 
. Рассмотрим разность 
, имеем из (7): =
= 
Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства, а затем возьмем математическое ожидание от левой и правой частей, имеем из получившегося равенства:
=
Так как 
, то отсюда следует, что
.
Покажем, что - гауссовская последовательность. Доказательство проведём по индукции. Пусть 
- гауссовская случайная величина. Очевидно, что 
тоже гауссовская. Действительно, так как сумма двух гауссовских величин есть гауссовская величина, то гауссовская случайная величина. Таким образом основной шаг индукции установлен, а с ним доказано утверждение.
